2017年辽宁大学数学分析;高等代数;常微分方程或近世代数任选其一之高等代数复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设V 是n 维欧几里得空间，
（1）对于短个给定的（2）映射【答案】（1）
所以是V 上的线性函数，即
（2）所以故
类似可得若于是
则
故f 是单射. 注意到V 和
都是R 上的n 维线性空间，则f 是双射，故f 是V 到
的同构映射。
2． 设A 是实对称矩阵. 证明：
（1）存在正实数（2）存在正实数【答案】（1）设
使得
则
是正定矩阵.
的k 阶顺序主子式
注意
到由
是实多项式函数
，
则
正定，则
时，
正定，于是
则存
在
故正定，取
使得
正定.
正定.
正定，对于任意的n 当
时
，
取
使得对于任意的n 维列向量，都有有
因为
映射
因为
为其内积，
为其对偶空间. 证明： 是中的一个元素.
是rt 维线性空间V 到：的同构映射.
（2）因为A , —A 实对称，由（1）知存在充分大的
维列向量注意到可以为0, 都有
于是
即
3． 设A 与B 是数域P 上的n 级矩阵，且AB=BA, 证明：
【答案】因为
而AB=BA，所以有
故有
即
4． 求出通过点
【答案】设此二次曲线方程为把5个点分别代入，得
易解出
的二次曲线的方程.
此二次曲线的方程为
5． 设
求如下行列式
.
【答案】易知
6． 计算
【答案】（1）当时，用第1行的（-1）倍分别加到其它各行得
按第1行展开得
（2）当
时，将最后一列拆成两项和，所以
：
由对称性，又有
再由可解得
7．
通常称为
的距离，证明：
【答
案
】