2017年江西科技师范大学高等代数(同等学力加试)考研复试核心题库
● 摘要
一、分析计算题
1． 已知二次型
（1）写出f 的矩阵A ；
（2）求出A 的特征值及对应的特征向量. 【答案】（1）二次型的矩阵为
（2）可计算得所以其中
当零常数.
当数.
2． 设
时，得特征向量
A 属于4的全部特征向量为
其中
为P 中任意非零常
当
时，得特征向量为P 中任意非零常数.
A 属于-1的全部特征向量为
其中
为P 中任意非
时，得特征向量
A 属于1的全部特征向量为
是n 维欧几里得空间V 的一组基是由用施密特正交化方法得
到的正交组，证明：
【答案】由施密特正交化方法，
记
则
于是
记右端的特殊上三角矩阵为T ，则
由
是基
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是正交基，则
两边取行列式，得
3． 设P 为数域，M 为形如
的循环矩阵的集合，则M 为【答案】易知M 为
的子空间，并求其的维数和一组基.
的子空间（证明略）. 设
显然是M 中线性无关的向量. 因为
所以综上所述，
是M 的生成元.
是M 的基，dimV=m.
为对角矩阵：
4． 下列n 阶方阵可否对角化？若可对角化，求可逆方阵P 使
【答案】易知或-1.
①若而令
则易知
且
有基础解系：
从而可知A 的最小多项式为
无重根，A 可对角化且其特征根为1
有基础解系：
则P 可逆且
②
则易知
且
有基础解系：
而令
有基础解系：
则P 可逆且
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5． 设A 是以未知矩阵. 问：
①a ，b ，c 满足何种关系时【答案】①易知当a=b=c时，有
因此，当a ≠1时方程组无解，当a=l时有无穷多解. 当a=b≠c 时，对施行初等行变换
因此，当a ≠1且c ≠1时方程组无解；当a=l或c=l时有无穷多解. 当a=c≠b 或b=c≠a 时有同上类似结论• ②当a , b , C 互异时时有无穷多解为
而且
当a=b≠c 时，AX=0与
为：
当a=c≠b 或b=c≠a 时可仿上讨论.
6． 设A ，B ，C 是
并计算E+ADB=?
【答案】（E-BA ）D=（E-BA ）（E+BCA） =E-BA+BCA-BABCA=E-BA+B（E-AB ）CA =E-BA+BA=E，
又D （E-BA ）=（E+BCA）（E-BA ）=E-BA+BCA-BCABA =E-BA+BC（E-AB ）A=E-BA+BA=E.
又由C （E-AB ）=（E-AB ）C=E，得E+CAB=E+ABC=C.则E+ADB=E+A（E+BCA）B=E+AB+ABCAB=E+AB
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为行向量的三阶方阵，X 是3×1
无解、有唯一解和无穷多解？
因此，当a , b , c 互异时方程组
有唯一解；
②a ，b , c 满足何种关系时AX=0只有零解、有无穷多解？并用基础解系表出其一般解.
AX=0只有零解；当a=b=c时，AX=0与与
为任意数.
为其一基础解系，从而其一切解为
为任意数.
同解，
同解，此
为其一基础解系，从而其一切解
为任意数.
方阵，试证：