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一、计算题

1． 在线段

【答案】设从

上任取n 个点, 试求其中最远两点的距离的数学期望. 为在[0, 1]中任取的第i 个点的坐标,

则

独立同服

上的均匀分布, 其分布函数为

令

则最远两点的距离为于是因为

于是

从而

故

2． 甲、乙两个校对员彼此独立对同一本书的样稿进行校对，校完后，甲发现a 个错字，乙发现b 个错字，其中共同发现的错字有c 个，试用矩法给出如下两个未知参数的估计:

（1）该书样稿的总错字个数； （2）未被发现的错字数.

【答案】（1）设该书样稿中总错字的个数为识别出错字的概率为

甲校对员识别出错字的概率为

，乙校对员

由于甲、乙是彼此独立地进行校对，则同一错字能被甲、乙同时识别的

概率为根据频率替换思想有

由独立性可得矩法方程解之得

（2）未被发现的错字数的估计等于总错字数的估计减去甲、乙发现的错字数，即

譬如，若设

3． 设分别自总体_Var （Z ）达到最小.

【答案】由已知条件有

且

独立. 于是

是

故

这证明了又

的无偏估计.

从而

因而当

时，

达到最小，此时

这个结果表明，对来自方差相等（不论均值是否相等）的两个正态总体的容量为本，上述是的线性无偏估计类中方差最小的.

4． 在钢线碳含量对于电阻的效应的研宄中, 得到以下的数据:

表

1

（1）画出散点图； （2）求线性回归方程（3）求的方差（4）检验假设

；

则该书样稿中错字总数的矩法估计为

个.

而未被发现的错字个数的矩法估计为

和

中抽取容量为n 1和n 2的两独立样本，

其样本方差分别为

都是

的无偏估计，并确定常数a , b 使

试证，对于任意常数a , b （a+b=1）,

该无偏估计为

和的样

的无偏估计；

（5）若回归效果显著, 求b 的置信水平为0.95的置信区间； （6）求

处

的置信水平为0.95的置信区间；

是合适的

.

（7）求x=0.50处观察值Y 的置信水平为0.95的预测区间. 【答案】 （1）散点图如图1, 从图上看取回归函数为

图1

（2）由给定的数据经计算, 得到

.

所以回归方程为

（3）（4）当

时,

.

, 则拒绝域为

由已知得检验统计量的观察值为

由于

（5）给定的置信水平为即知

得b 的置信水平为0.95的置信区间为

9

（表载t 分布的临界值a 最小的是0.005）,

,

由此知回归效果是极其显著的.