2018年山西师范大学数学与计算机科学学院609数学之概率论与数理统计考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 用概率论的方法证明:
【答案】设故
服从参数
为独立同分布的随机变量序列，其共同分布为参数
又由泊松分布的可加性知，
的泊松分布. 由林德伯格-莱维中心极限定理知
2． 从同一总体中抽取两个容量分别为n , m 的样本，
样本均值分别为
将两组样本合并，其均值、方差分别为
证明:
【答案】设取自同一总体的两个样本为由
得
由
得
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的泊松分布
样本方差分别为
3． 设连续随机变量X 的分布函数为F （x ），且数学期望存在，证明:
【答案】
将第一个积分改写为二次积分，然后改变积分次序，得
第二个积分亦可改写为二次积分，然后改变积分次序，可得
这两个积分之和恰好是所要求证明的等式.
4． 若因为
所以有
5． 若
【答案】因为
，证明:
，即得
.
•，所以得
由此得
结论得证.
6． 设随机变量序列数，并求出c.
【答案】因为
且
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，证明:对任一事件B , 有
，所以由单调性知
.
，从而得
，又
【答案】因为
.
独立同分布，且令试证明:其中c 为常
所以由切比雪夫不等式得，任对即再知即 7． 设分统计量.
【答案】由几何分布性质知，
是来自几何分布
有
的样本，证明
其分布列为
是充
在给定后，对任意的一个样本有
该条件分布与无关，因而
是充分统计量.
个
和个
譬如
这n 个分布，且
把此序列分成n 段，每段中
的个数依次记为
这里诸
服从几何
这个条件分布是离散均匀分布，可用等可能模型给其一个解释:设想有把它们随机地排成一行，并在最后位置上添上1个
我们指出，此种序列共有个（这是重复组合），而每一个出现这就是在
给定后
的
是等可能的，
即每一个出现的概率都是条件联合分布.
这个条件分布还表明:
当已知统计量
的值t 后，就可按此条件分布产生一个样本
它虽与原样本不尽相同，但其分布相同.
在功能上这等价于恢复了原样本. 这就是充分统计量的真实含义.
8． 设
【答案】一方面
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，证明: