2018年陕西师范大学数学与信息科学学院762概率论与数理统计考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、计算题
1． 在一批灯泡中抽取300只作寿命试验，其结果如下:
表
在显著性水平为0.05下能否认为灯泡寿命服从指数分布【答案】这是一个检验总体是否服从指数分布
本题中总体分成4类，在原假设成立下，每类出现的概率及
?
的假设检验问题.
分别为
因而，检验的统计量为
这里k=4, 检验拒绝域为由于服从指数分布
2． 设回归模型为
，若取
，则
.
未落入拒绝域，故不拒绝原假设，在显著性水平为0.05下可以认为灯泡寿命
此处检验的p 值为
’现收集了15组数据，经计算有
后经核对，发现有一组数据记录错误，正确数据为（1.2, 32.6）, 记录为（1.5, 32.3）. （1）求（3）若
修正后的LSE ;
作修正，修正后的量分别记为
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（2）对回归方程作显著性检验
, 给出对应响应变量的0.95预测区间.
则
【答案】 （1）由于有一组数据记录错误，应将
根据修正后的数据可计算得到
的LSE 为
（2）利用修正后的数据可计算三个平方和为
因而检验统计量查表知
拒绝域为
，若取显著性水平，由于检验统计量落入拒绝域，
这是一个非常小的概率，说明回归方程显著性很高. （3）对于而
其对应相应变量的预测值为
，查表知
.
因
此
响
应
变
量
的
0.95
3． 在假设检验问题中，若检验结果是接受原假设，则检验可能犯哪一类错误？若检验结果是拒绝原假设，则又有可能犯哪一类错误？
【答案】若检验结果是接受原假设，可能有两种情况:其一是原假设为真，此时检验是正确的，未犯错误，其二是原假设不真，此时检验结果就错了，这种错误是接受了不真的原假设，为第二类错误，故此时检验可能犯第二类错误.
若检验结果是拒绝原假设，也可能有两种情况:若原假设本身不真，检验是正确的；若原假设事实上是真的，则检验就犯了第一类错误，由此，在此种场合，检验可能会犯第一类错误.
4． 设是来自的样本，问n 多大时才能使得成立？
【答案】样本均值
因而
所以
这给出
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因此回归方程是显著的. 此处，回归方程显著性检验的p 值为
预测区间
为
即n 至少为62时，上述概率不等式成
立.
5． 一商店经销某种商品，每周进货量X 与顾客对该种商品的需求量Y 是相互独立的随机变量，且都服从区间周的平均利润.
【答案】记Z 为此商店经销该种商品每周所得的利润，由题设知
由题设条件知
的联合概率密度为
于是
6． 设圆的直径服从区间（0, 1）上的均匀分布，求圆的面积的密度函数.
【答案】设圆的直径为X ，则圆的面积
，而X 的密度函数为
因为且
在区间（0，1）上为严格单调增函数，其反函数为，所以圆面积
的密度函数为
7． 设二维随机变量
，
其中
上的均匀分布. 商店每售出一单位商品可得利润1000元；若需求量超过了
进货量，则可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利润为500元. 试求此商店经销该种商品每
的联合密度函数为
（1）试求常数k ; （2）求【答案】（1）
的非零区域如图 （a ）阴影部分. 由
解得k=6.
（2）P （x ，y ）的非零区域与
的交集为图（b ）阴影部分，所以
，又因为P （x ，y ）
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