当前位置：问答库＞考研试题

一、计算题

1． 计算下列极限：

（1）（2）（3）（4）【答案】（1）（2）（3）（4）

2． 设周期函数f （x ）的周期为2π，证明：

（1）若（2）若【答案】（1）

在上式第二个积分中令

则

同理得

则f （x ）的傅里叶系数则f （x ）的傅里叶系数

（k 为正整数）。

及

当

时，

及

（2）与（1）做法类似，有

当

时，

3． 有一杠杆, 支点在它的一端。在距支点0.1m 处挂一质量为49kg 的物体。加力于杠杆的另一端使杠杆保持水平（如图所示）, 如果杠杆的线密度为5kg/m, 求最省力的杆长?

【答案】如图, 设最省力的杆长为x , 则此时杠杆的重力为5gx ,

由力矩平衡公式

知

, 令

, 得驻点x=1。4, 又

, 故x=1.4为极小值点, 又驻

故有

于是有

点惟一, 因此x=1.4也是最小值点, 即杆长为1.4m 时最省力。

图

4． 求曲线

切线及法平面方程。

【答案】

与

相应的点

为，于是所求切线方程为

k 在与相应的点处的

，曲线在该点处的切向量

为

法平面方程为

即

5． 己知制作一个背包的成本为40元, 如果每一个背包的售出价为x 元,

售出的背包数由

给出, 其中a , b 为正常数。问什么样的售出价格能带来最大利润?

【答案】设利润函数为p （x ）, 则

令由

, 得

知

（元）

为极大值点, 又驻点惟一, 这极大值点就是最大值点, 即售出价格

定在60元时能带来最大利润。

6． 求曲线上横坐标为x=0的点处的切线方程和法线方程。

【答案】

，即2x-y=0，法线方程为（x-0）

7． 用比值审敛法判定下列级数的收敛性:

0），因此曲线在点（0，处的切线方程为y-0=2，即x+2y=0。