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一、计算题

1． 设

【答案】

具有二阶连续偏导数，求

。

2． 在摆线

，

上求分摆线第一拱成1:3的点的坐标。

当t 0=2π时，长度为8a ，故所求点对应的参数t 0满足到点的坐标为 3． 计算

（1）抛物线

，其中L 是：

上从点（1，1）到点又（4，2）的一极弧；

。

，解得

，从而得

【答案】对应于摆线第一拱的参数t 的范围为[0, 2π]，参数t 在范围[0，t 0]时摆线的长度为

（2）从点（1，1）到点（4，2）的直线段；

，然后再沿直线到点（4，2）的折线; （3）先沿直线从点（1，1）到点（1，2）（4）曲线

上从点（l , l ）到点（4, 2）的一段弧。

，y 从1变到2，则

（2）L 的方程为有

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【答案】（1）化为对y 的定积分。

，即，y 从1变到2。化为对y 的定积分计算，

（3）记L 1为从点（1，1）到点（1，2）的有向线段，L 2为从点（1，2）到点（4，2）的有向线段。则L 1: x=l，y 从1变到2;

，x 从l 变到4。在L 1上，dx=0; 在L 2上，dy=0。于是

因此

（4）由

，可得t=0；由

可得t=1。因此

4． 用

函数表示下列积分，并指出这些积分的收敛范围：

，即

，

在n>1

（1）（2）（3）

【答案】（1）令时都收敛。

（2）令当p>-1时收敛。

（3）令当n>0时，当n<0时，故

5． 计算抛物线y>0，故有

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，即，

，即，

当

时收敛。

从顶点到这曲线上的一点M （x , y ）的弧长。

【答案】不妨设p>0，由于顶点到（x , y ）的弧长与顶点到（x , -y ）的弧长相等，因此不妨设

6． 估计下列各积分的值:

【答案】（l ）在区间[1, 4]上,

, 因此有

（2）在区间

,

（3

）在区间即

上,

函数, 故有

（4）设（0）,

, 则

,

在[0, 2]上的最大值、最小值必为f

, 因此有

是单调增加的,

因此

,

, 因此有

, f （2）中的最大值和最小值, 即最大值和最小值分别为f （2）=2和

而 7． 设

【答案】

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，而都是可微函数，求。