2017年南京师范大学数学科学学院846高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 设有一圆板占有平面闭区域的温度是
【答案】解方程组
。该圆板被加热，以致在点
，求该圆板的最热点和最冷点。
求得驻点在边界
上，有
。
当比较
时，有边界上的最大值及
的值知，最热点在
，
时，有边界上的最小值
，最冷点在
。
。
2． 一个单位质量的质点在数轴上运动，开始时质点在原点0处且速度为v 0，在运动过程中，它受到一个力的作用，这个力的大小与质点到原点的距离成正比（比例系数k l >0）而方向与初速一致. 又介质的阻力与速度 成正比（比例系数k 2>0）. 求反映这质点的运动规律的函数.
【答案】设质点的位置函数
为
解特征方程
，
且有
解得
故
代入初始条件
由题意
得
得
得
即
故有通解
且
3． 设
求
和
，并作出这两个函数的图形。
【答案】由题意知
和
的图形依次如图1，图2所示
.
图1 图2
4． 要造一圆柱形油罐, 体积为V , 问底半径r 和高h 等于多少时, 才能使表面积最小? 这时底直径与高的比是多少?
【答案】己知圆柱形油罐的表面积
令
, 得
, , 即
由此时
, 即:
, 知为极小值点, 又驻点惟一, 故极小值点就是最小值点。, 所以当底半径为
和高
时, 才能使表面
积最小。这时底直径与高的比为1:1。
5． 利用二重积分的性质估计下列积分的值:
，其中，其中，其中
，其中
【答案】（1）在积分区域D 上，面积等于1，因此
（2）在积分区域D 上，积等于
，因此
（3）在积分区域D 上有
，D 的面积等于2，因此
（4）因为在积分区域D 上有又D 的面积等于
，因此
6． 求旋转椭球面
【答案】令
上点
处的切平面与XOY 面的夹角的余弦。
，曲面的法向量为
曲面在点
处的法向量为
；
；
；
。
，从而
。又D 的
，从而，又D 的面
，所以有
，面的法向量为
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