2017年南京师范大学数学科学学院846高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 曲线
在点（2, 4, 5）处的切线对于x 轴的倾角是多少？
（2, 4）就是曲线在点（2, 4, 5）处的切线
，于是倾角
.
【答案】设z=f（x ，y ）. 按偏导数的几何意义，对于x 轴的斜率，而
2． 求函数
【答案】又
当
，即
时的全增量和全微分。
故
3． 求以下列各式所表示的函数为通解的微分方程:
（1）（2）
【答案】（1）将
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入（z+C）+y=1中，得
（其中C 为任意常数） （其中C 1.C 2为任意常数）
两端关于x 求导，得
关于x 求二次导数，得
即有
将其带
（2）将
把以上两式看成是以C 1与C 2为未知量的线性方程组，解得代入
得
即
4． 设a 【答案】根据定积分几何意义 , 取得最大值? 表示的是由 , 以及x 轴所围成的图形在z 轴上方部分的面积减去x 轴下方部分面积。因此如果下方部分面积为0, 上方部分面积为最大时, 知 计算 的值最大, 即当a=0, b=1时, 积分 取得最大值。已 , 试用抛物线法公式（6）求出并列表 的近似值（取n=10, 计算时取4位小数） 按抛物线法公式（6）, 求得 5． 讨论函数 【答案】 在分段点x=-1处，因为 所以x=-1为第一类间断点（跳跃间断点）。 在分断点x=1处，因为 所以x=l为第一类间断点（跳跃间断点）。 6． 利用定积分的几何意义, 求下列积分: 的连续性，若有间断点，判断其类型。 【答案】（l ）根据定积分的几何意义, 表示的是由直线y=x, x=t以及x 轴所围成的直 , 故有 以及x , 梯形的高为 , 角三角形面积, 该直角三角形的两条直角边的长均为t , 因此面积为 （2）根据定积分的几何意义, 轴所围成的梯形的面积, 该梯形的两底长分别为因此面积为21。故有 （3）根据定积分的几何意义, 。 表示的是由直线 表示的是由直线 以及x 轴所和x 轴所围 围成的图形的面积。该图形由两个等腰直角三角形组成, 分别由直线成, 其直角边长为1, 面积为 由直线y=x, x=2和x 轴所围成, 其直角边长为2, 面积为2。因此（4）根据定积分的几何意义, 半圆的面积, 因此有 表示的是由上半圆周 以及x 轴所围成的 7． 对图所示的函数f （x ），下列陈述中哪些是对的，哪些是错的 ? 图 （1）（2）（3）（4） 不存在；