2018年海南大学园艺园林学院314数学(农)之概率论与数理统计考研基础五套测试题
● 摘要
一、计算题
1． 设随机变量X 服从二项分布b （n , p ），试求X 的前四阶原点矩、中心矩、偏度与封度.
【答案】分几步进行.
（1）先求k 阶原点矩的递推公式. 记
显然有
. 而当k ≥ 1时有
（2）由此递推公式可导出前四阶原点矩
.
（3）再计算前四阶中心矩:
（4）最后计算偏度与峰度
由此可见:二项分布在p=l/2时是对称分布；当p
.
更细致的讨论会发现:①在区间
布比标准正态分布更平坦，譬如在p=0.5时，分布更乎坦；②在区间
外
，
内，
此时二项分
此时二项分布是对称的，且比标准正态
，此时二项分布比标准
正态分布更尖峭.
2． 某组装产品内有部分噪音很大的次品，很伤脑筋，产生次品的原因似乎是由于这种组装品的某个部位的间隙过大引起的，为检验这个认识是否正确，特从正品对其间隙进行了测量，测量数据如下（单位:pm ）
表
1
在正态分布假设下请对
与
中的间隙的均值间是否存在显著差异进行检验（取
. ）
和次品
中各抽出8个，
【答案】这是单因子（间隙）二水平等重复试验，其均值比较可用两种方法进行检验. 方法一，方差分析法，具体操作如下. （1）计算各个和:（2）计算各个平方和:
（3）列出方差分析表:
表
2
（4）判断:若给定显著性水平
，由于
异.
方法二，双样本t 检验.
，可查得拒绝域为
故因子A 显著，即正品与次品的该部位的平均间隙有显著差
在正态总体方差相等的条件下两均值的比较还可用双样本的t 检验. 检验统计量为
其中
是两样本量，
是两样本均值，
如今由样本可算得
对给定显著性水平查表得
; 拒绝域为，由于
，
, 故应拒绝两均值相等得假设， 分布，
此结论与方差分析相同. 这里两种检验的结果相同的现象不是偶然的， 因为自由度为的t 变量的平方就是因此这两个方法是等价的. 其临界值亦有即.
.
3． 一个电子设备含有两个主要元件，分别以X 和Y 表示这两个主要元件的寿命（单位:h ）. 若设其联合分布函数为
试求这两个元件的寿命都超过120h 的概率. 【答案】所求概率为
这表明:两个主要元件的寿命都超过120h 的概率为0.0907.
4． 从（0, 1）中随机地取两个数，求其积不小于3/16, 且其和不大于1的概率
【答案】设取出的两个数分别为X 和Y ，则（X , Y ）的联合密度函数为
因为
的非零区域与
的交集为图阴影部分.