2018年哈尔滨商业大学生命科学与环境科学研究中心601自命题理学数学之概率论与数理统计考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设
是来自
的样本，
是来自
的样本，两总体独立.c ，
d 是任意两个不为0的常数，证明
其中
【答案】由条件有
且
相互独立，故
于是
与分别是两个样本方差.
2． 设总体单随机样本. 证明:
（1）
是
的无偏估计量但
不是是
的无偏估计量. 的无偏估计量. , 故
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（即X 服从于参数为的泊松分布）, 其中是来自总体的简
（2）样本函数
【答案】 （1）由题意知, 又
相互独立, 且
则
又即证
是的无偏估计量, 但
不是
的无偏估计量.
（2）由得
即证
3． 设
则
为独立的随机变量序列，证明:若诸服从大数定律.
的方差
是
的无偏估计.
一致有界，即存在常数c 使得
【答案】因为
所以由马尔可夫大数定律知
服从大数定律.
存在，证明:对任意的
，
4． 设g （X ）为随机变量X 取值的集合上的非负不减函数，且
有
【答案】仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，则
注:此题给出证明概率不等式的一种方法两次放大:第一次放大被积函数；第二次放大积分区域.
5． 证明下列事件的运算公式:
（1）（2）
【答案】（1）右边=（2）利用（1）
有
=左边. , 所以
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6． 设随机变量变量.
【答案】
令
两边取对数，并将
展开为级数形式，可得
所以
而
正是
的特征函数，由特征函数的唯一性定理及判断弱收敛则由X 的特征函
数
可
得
证明:当
时，随机变量
按分布收敛于标准正态
的方法知结论成立.
7． 设事件A ，B ，C 的概率都是
【答案】因为
，且
，证明:
上式移项即得结论.
8． 设
分别是
的UMVUE ，
是的UMVUE ，故
于是
►
因此
是
的UMVUE.
，且对任意一个
，
，分别是
证明:对任意的（非零）常数【答案】由于满足
，由判断准则知
二、计算题
9． 已知随机变量X 和Y 的联合密度函数为
求: （1）常数k ; （2）（3）
的联合分布函数;
;
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