2017年东北石油大学数学与统计学院705数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1. 证明:若T' 是T 增加若干个分点后所得的分割,
则
【答案】设T 增加p 个分点得到到
所以我们只需证但T 的其他小区间
的情形。
与的各
两项. 又因函数在
即
就有
这里
2. 叙述函数极限且趋于
的数列
故
的归结原则,并应用它证明
内有定义,都存在且相等.
在但
3. 证明
【答案】取虽然满足
在
上不一致连续.
内有定义
.
由归结原则知
不存在.
则
有
,
极限且
不存在
存在的充要条件是:对任何含于
仍旧是新分割
所属的小区间,因此,比较一项换为后者中的
故
将p 个新分点同时添加到T ,和逐个添加到T , 都同样得
在T 上添加一个新分点,它必落在T 的某一小区间内,而且将分为两个小区间,记作
个被加项,它们之间的差别仅仅是前者中的
子区间上的振幅总是小于其在区间上的振幅,即有
一般的,对t 增加一个分点得到
【答案】(1) 归结原则设f
在(2) 证明如下
:
但是
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因此,
4. 证明抛物线
【答案】
在上不一致连续.
在顶点处的曲率为最大。
显然当由
5. 设
时
,得
即抛物线
是单调递减的. 故当时,取最大值。
在顶点处的曲率为最大。
在I 上一致连续.
使得
使得当
^
再由时,
有
是区间I 上有界且一致连续的函数,求证:
在区间I 上有界,则存在
存在
的一致连续性得到,
对于任意
【答案】由于
从而
所以
在区间I 上一致连续.
恒有
6. 证明:(1) f 为区间Ⅰ上凸函数的充要条件是对Ⅰ上任意三点
(2) 为严格凸函数的充要条件是【答案】
因为
函数的充要条件是
所以
由此可知,为凸函数的充要条件是
为严格凸
二、解答题
7. 设
求直线
和抛物线
所围图形绕直线
所以
)旋转而成的旋转体体积.
【答案】旋转体体积公式为
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8. 设有半径为r 的半圆形导线,均匀带电,电荷密度为在圆心处有一单位正电荷. 试求它们之间作用力的大小。
【答案】如图所示,
在处,
从
到
正电荷在垂直方向上的引力为
故导线与电荷的作用力为
图
9. 若L 是平面其中L 依正向进行。
【答案】因
故由斯托克斯公式及第一、二型曲面积分之间的关系得
10.计算下列反常积分的值:
【答案】
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的一段导线的电量微元为它对圆心处的单位
上的闭曲线,它所包围区域的面积为S , 求