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2017年东北石油大学数学与统计学院705数学分析考研强化模拟题

  摘要

一、证明题

1. 证明:若T' 是T 增加若干个分点后所得的分割,

【答案】设T 增加p 个分点得到到

所以我们只需证但T 的其他小区间

的情形。

与的各

两项. 又因函数在

就有

这里

2. 叙述函数极限且趋于

的数列

的归结原则,并应用它证明

内有定义,都存在且相等.

在但

3. 证明

【答案】取虽然满足

上不一致连续.

内有定义

.

由归结原则知

不存在.

极限且

不存在

存在的充要条件是:对任何含于

仍旧是新分割

所属的小区间,因此,比较一项换为后者中的

将p 个新分点同时添加到T ,和逐个添加到T , 都同样得

在T 上添加一个新分点,它必落在T 的某一小区间内,而且将分为两个小区间,记作

个被加项,它们之间的差别仅仅是前者中的

子区间上的振幅总是小于其在区间上的振幅,即有

一般的,对t 增加一个分点得到

【答案】(1) 归结原则设f

在(2) 证明如下

但是

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因此,

4. 证明抛物线

【答案】

在上不一致连续.

在顶点处的曲率为最大。

显然当由

5. 设

,得

即抛物线

是单调递减的. 故当时,取最大值。

在顶点处的曲率为最大。

在I 上一致连续.

使得

使得当

^

再由时,

是区间I 上有界且一致连续的函数,求证:

在区间I 上有界,则存在

存在

的一致连续性得到,

对于任意

【答案】由于

从而

所以

在区间I 上一致连续.

恒有

6. 证明:(1) f 为区间Ⅰ上凸函数的充要条件是对Ⅰ上任意三点

(2) 为严格凸函数的充要条件是【答案】

因为

函数的充要条件是

所以

由此可知,为凸函数的充要条件是

为严格凸

二、解答题

7. 设

求直线

和抛物线

所围图形绕直线

所以

)旋转而成的旋转体体积.

【答案】旋转体体积公式为

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8. 设有半径为r 的半圆形导线,均匀带电,电荷密度为在圆心处有一单位正电荷. 试求它们之间作用力的大小。

【答案】如图所示,

在处,

正电荷在垂直方向上的引力为

故导线与电荷的作用力为

9. 若L 是平面其中L 依正向进行。

【答案】因

故由斯托克斯公式及第一、二型曲面积分之间的关系得

10.计算下列反常积分的值:

【答案】

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的一段导线的电量微元为它对圆心处的单位

上的闭曲线,它所包围区域的面积为S , 求