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2017年东北石油大学数学与统计学院705数学分析考研导师圈点必考题汇编

  摘要

一、证明题

1. 试应用

定义证明

肘,

从而对任给

则当

时,

所以

【答案】因为当

2. 区间上的连续函数如果在任何有理点为零,证明:此函数恒为零.

【答案】利用连续函数的局部保号性. 设函数为在有理点列

可以证明对于任意的无理点,函数值都为零,对于区间上的任意无理点使得

则由函数的连续性可知

即证得在任意的无理点处函数值都为零.

又由已知函数在任何有理点为零,故此函数恒为零.

3. 已知f (x ) 在[0,1]上二阶连续可导,证明:

【答案】因为f (x ) 连续,所以

可被取到,不妨设

由拉格朗日中值定理得

又因为

所以

4. 设

是一个严格开区间套,即满足

证明:存在惟一的一点使得

是一个闭区间套. 由区间套定理知,

存在惟一的点

使得即

【答案】由题设知

5. 设函数f 在点a 的某个邻域上具有二阶导数. 证明:对充分小的h , 存在

【答案】设f 在与G (x ) 在

内具有二阶导数. 不妨设

使得

再令

则其中

从而

则有

6. 设为连续函数,证明:

【答案】(1) 从所要证明等式的被积函数来看,应作代换

(2)

从而

由此得

在于是

使得

上满足柯西中值定理的条件,故存在

上满足拉格朗日中值定理的条件,故有

于是有

二、解答题

7. 求密度为的均匀球面

【答案】因

对于z 轴的转动惯量

8. 试比较函数

【答案】由

关于直线y=x对称. 同理,

分别当a=2和可知,

时的图像.

’图像关于y 轴对称. 由与

的图像也关于直线y=x对称,如图所示

.

可知

互为反函数,因而它们的图像

的图像关于x 轴对称.

由于

9. 求极限

【答案】记