2017年东北石油大学数学与统计学院705数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1. 试应用
定义证明
肘,
从而对任给
取
则当
时,
所以
【答案】因为当
2. 区间上的连续函数如果在任何有理点为零,证明:此函数恒为零.
【答案】利用连续函数的局部保号性. 设函数为在有理点列
可以证明对于任意的无理点,函数值都为零,对于区间上的任意无理点使得
则由函数的连续性可知
即证得在任意的无理点处函数值都为零.
又由已知函数在任何有理点为零,故此函数恒为零.
3. 已知f (x ) 在[0,1]上二阶连续可导,证明:
【答案】因为f (x ) 连续,所以
可被取到,不妨设
由拉格朗日中值定理得
又因为
所以
即
存
4. 设
且
是一个严格开区间套,即满足
证明:存在惟一的一点使得
是一个闭区间套. 由区间套定理知,
存在惟一的点
所
以
使得即
【答案】由题设知
,
又
因
5. 设函数f 在点a 的某个邻域上具有二阶导数. 证明:对充分小的h , 存在
【答案】设f 在与G (x ) 在
内具有二阶导数. 不妨设
令
使得
再令
则其中
从而
令
则有
且
6. 设为连续函数,证明:
【答案】(1) 从所要证明等式的被积函数来看,应作代换
则
(2)
令
则
从而
由此得
在于是
使得
则
上满足柯西中值定理的条件,故存在
上满足拉格朗日中值定理的条件,故有
于是有
二、解答题
7. 求密度为的均匀球面
【答案】因
则
对于z 轴的转动惯量
8. 试比较函数
【答案】由
与
关于直线y=x对称. 同理,
与
分别当a=2和可知,
与
与
时的图像.
’图像关于y 轴对称. 由与
的图像也关于直线y=x对称,如图所示
.
可知
,
互为反函数,因而它们的图像
的图像关于x 轴对称.
由于
图
9. 求极限
【答案】记
则
即
而
故
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