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一、证明题

1． 设

【答案】先用数学归纳法可证：

再用数学归纳法证明:

显然

归纳假设

则

从而②式成立. 由①，②式知

单调递増有上界，注意到

1<1.

2． 对

【答案】令因此

故

3．

设连续函数列

在【答案】

因为

即

取因此有又函数

在

一致连续，所以

又

在

上一致收敛于

对上述

当

时，

有

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证明：收敛，并求其极限.

极限存在，可设

应用拉格朗日中值定理，试证：对

则

对

有

应用拉格朗日中值定理得

在

在

上一致收敛于

上一致收敛于

又因为

上连续，

所以

在

上也连续，

因而在

有

上

和

所以，

存在

在

当

时

，

均有

上连续，一定存在最值，

而

在

上连续，证明

：

上一致收敛于

注意到

因此可得

这说明

在

上一致

收敛于

4． 设函数f 在点a 的某个邻域上具有二阶导数. 证明：对充分小的h , 存在

【答案】设f 在与G (x ) 在

内具有二阶导数. 不妨设

令

使得

再令

则其中

从而

令

则有

且

5． 证明的有界函数.

6． 设即可.

事实上，由f

是

由

由已知条件，在收敛子列

再由

满足

及f 的连续性，令

到

的映射知，

对每一个

当

相应地存在

时

，

是有界点列. 由致密性定理，

注意到

故

使得

记

相应

地

存

显然它是有界闭集.

可知

，

是有界集，所以

可得

是R 上的有界函数.

于是，

故

是R 上

在于是

上满足拉格朗日中值定理的条件，故有

则

上满足柯西中值定理的条件，故存在

使得

【答案】由平均值不等式可得

是连续映射，若对中的任何有界闭集并设

欲证，

均有界. 证明：是闭集.

【答案】任取点列是闭集，只需证明

二、解答题

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7． 求以下数列的上、下极限

【答案】（1）当n 为偶数时，没有其他的聚点. 故

（2）令

则由数列

的偶数项、奇数项组成的数列分别是

因为

所以

和

都是数列

的聚点，由于

（3）因

（4

）

故

（5）因为

所以

（6）因为_

，所以:

而

由迫敛性得知

8． 用抛物线法近似计算

【答案】当

时，

当

时，

当

时，

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当n 为奇数时，而数列

没有其他的聚点，

因此

故数

列

的项共有5个不同的值

：

和1，显然

，

（分别将积分区间二等分、四等分、六等分）.