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一、证明题

1． 设函数等式:

【答案】设

则

在区间

上严格递增且连续

,

注意到

故

2． 利用条件极值方法证明不等式

【答案】取目标函数拉格朗日函数为

, 约束条件为

.

对L 求偏导数, 令它们等于0, 则有

解方程组易得稳定点是

为了判断并把目标函数

看作

是否为所求条件极值, 可把条件与

的复合函数F （X , y ）. 于是

当

时,

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为的反函数, 试证成立

看作隐函数

由此可得稳定点为极大值点, 即有不等式

即

3． 证明:

【答案】因为续. 取

设是任一正数, 则

由

,

得, 但

4． 证明:函数

【答案】因为

又由

在

及

故

. 于是, 无

论

故

多么小, 总存在两

点在

上不一致连续.

满

足

在[a, b]上一致连续, 但在

在闭区间

上不一致连续.

上一致连

上连续, 由一致连续性定理知, f （x ）在

上连续, 且有连续的导函数. 在

上一致收敛.

在

上连续.

上连续（n=1, 2, …）, 故

在

上连续可知,

则由定理可知

一致收敛且和函数连续. 设

即f （x ）连续且具有连续的导函数.

5． 设函数f （u ）具有一阶连续导数, 证明对任何光滑封闭曲线L , 有

【答案】令P=f （xy ） y , Q=f （xy ）x , 则有

故由格林公式可得

6． 设f （x ）在[0, 1]上连续, 在（0, 1）内可导.

, 则F （0）=0, 且

【答案】令

求证:

, 使得

»

由此推出

下面分两种情况讨论: 第一种情况,

.. 根据罗尔定理, 有

*

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使得第二种情况

, 使得

使得 7． 设

【答案】因

,

即得

.

则

, 从而本题得证.

与F （1）异号,

于是根据连续函数的中间值定理可知上用罗尔定理, 有

. 从而本题也得证.

现在对F （x ）在

,

即得

证明

单调递增趋于无穷, 故利用Stolz 公式

得

二、解答题

8． 设有一半径为R 的球体, P 0是此球的表面上的一定点, 球体上任一点的密度与该点到P 0的距离的平方成正比（比例常数k>0）, 求球体的重心位置.

【答案】方法一 记所考虑的球体为, 以的球心为坐标原点O , 射线OP 0为x 轴的正向建立坐标系, 则P 0 点的坐标为（R , 0, 0）, 球面方程为

密度函数为

设重心坐标为

, 由对称性可知,

,

而

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