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一、证明题

1． 设

, 证明:

【答案】原不等式等价于

取的凸函数. 若记

即

亦即

2． 设

【答案】因为于是,

证明:

所以

（当

或

即

3． 用定义证明:（1）若

（2）若

, 则, 则

|.

【答案】（1）由

知

,

, 当

第 2 页，共 25 页

, 则由

, 由凸函数的性质

f x ）可知, （是上

对）, 即

;

时, 有

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固定

, 当

时, 有

其中, 上述

,

当

时, 有

从而

（2）令

, 则当

时,

于是

由（1）知, 上式的第二、三项趋向于零. 下证第四项极限也是零. 事实上, 由

知,

有界

, 即存在M0, 使

故

从而（2）的极限是ab.

4． 证明不等式

【答案】作

则

所以

在

上严格单调减少, 而

, 对固定的

而言, 它是一个确定的常数. 故对

因此, 在上, 有, 即

5． 用定义证明下列极限:

（1）

'

第 3 页

，共

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（

2）若

（3）对黎曼函数

,

则

有

【答案】（1）设

x>0, 对

（当

因为

取

, 则当x>X时有

即

（

2）对

, 由. , 于是有

取

（3）设限个有理数

, 使得

, 对

, 因为满足, 因而可取

的正整数q 只有有限个, 从而在[0, 1]中至多只有有, 使得

内不含上述有限个有理数, 于是当, 从而

（当

, 1时考虑

,

则当

时, 有

,

从而有

, 故

, 则

, 当

时有

. 假设

时考虑单侧极限）.

时, 不论x 是有理数还是无理数, 都有

0的右去心邻域和1的左去心邻域）.

6． 应用拉格朗日中值定理证明下列不等式:

（1）（2）【答案】（1）因为

故至少存在一点

,

其中, 其中

, 令使得

, 则

.

, 所以f （x ）在[a, b]上满足拉格朗日中值定理的条件,

,

而由

, 于是知

. -, 因而

, 故

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