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一、证明题

1． 设

证明:（1）【答案】（1）记

. （2）

为的代数余子式（

）, 于是

因

对一切的j=l, 2, …, n_l都成立. 所以（2）关于齐次函数的欧拉定理有

而u

是

次齐次函数, 所以

2． 证明:若单调数列

【答案】设切正整数k , 3． 若

（1）

, 级数

发散,

, 证明: •收敛.

含有一个收敛子列, 则

收敛.

是有界的. 设正数M 是的一个上界, 即对一的子列, 所以存在正整数s , 使得

收敛.

.

于是

是

单调递增, 它的子列收敛, 则

对任意的正整数n , 由于

这说明数列是有上界的. 由单调有界定理知, 数列

发散; （2）

【答案】（1）用柯西准则

取

所以对固定的N , 存在

（固定）, 取适当大, 可使

. 由于, 于是有

趋向于,

由柯西准则知, 级数（2）因为

, 所以

而级数

收敛于

, 故

收敛.

发散.

4． 设f （x ）在[a, b]上二阶连续可导, 证明:

【答案】记

. 取

, 由微分中值定理, 有

t

即

于是

, 有

对上式两边, 分别关于x 1和x 2

在

和

上积分, 可得

即

进而有

这就是所谓的内插不等式.

5． 证明施瓦兹（Schwarz ）不等式:若f 和g 在[a, b]上可积, 则

f x ）【答案】若（与g （x ）可积, 则

都可积, 且对任何实数t ,

也可积,

又即

由此推得关于t 的二次三项式的判别式非正, 即

故

6． 用定义证明:

【答案】先写出当

具体到本题, 由于

所以

, 取

, 当

. 和

时, 有

即

7． 给定两正数与

证明:【答案】由又因为因此

,

于是

所以

为单调递减,

即

作出其等差中项

皆存在且相等.

可知

为单调递增. 并且

对

皆存在且根等.

即

都是有界的. 根据两边取极限,

得

单调有界定理

知

的极限都存在.

设

因而

与等比中项

一般的令

和

时, 有

的精确数学定义.

,

. 故

二、解答题