2018年河北大学数学与信息科学学院624数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 设f （x ）在[a, b]上单调增加, 但不必连续, 且=c（c 称为f （x ）的不动点）.
【答案】方法一用区间套定理. 将[a, b]二等分,
分点记为,
若
, 否则
取当时,
取
, 取再将二等分, 分点记为c 1,
若即可. 若取
, 否则, 取
, 这样保证有, 使得
取
即可;
, 它满足如下性质:
由闭区间套定理,
使得
又由f （x ）的单调性, 有
由此, 利用f （x ）的单调递增性, 可得
即f （c ）=c. 方法二用确界原理. 令（1）由（2）
及f 的单调性知,
. 由f 的单调性,
, 而
, 所以. 显然
, 故有上确界C. 易知 , 故
, 故
当然, .
.
如此继续下去, 要么到某一步时, 得到一分点
取
即可.
若
. 求证:
使得f （c ）
, 这样保证
有, 当
时,
要么这种步骤可无限地进行下去, 得到一个闭区间列
由（1）、（2）知, f （c ）=c.
2． 己知球半径为r , 验证高为h 的球缺体积
【答案】这个球缺可看作由曲线其体积可由旋转体体积公式
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绕x 轴旋转而成.
求得
.
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3． 试确定函数项级数
【答案】由于
的收敛域, 并讨论该级数的一致收敛性及其和函数的连续性.
所以当
时级数绝对收敛,
当
时级数发散, 当
时, 因为
因而级数发散, 于是级数的收敛域为（-1, 1）. 设
, 当
, 求证f （x ）在（-1, 1）内连续. 时有
由根式判别法知
收敛, 所以
在
f x ）上一致收敛, 从而（在[-S, S]
内非一致收敛.
, 则
即
4． 用抛物线法近似计算
【答案】当n=2时,
当n=4时,
当n=6时,
（分别将积分区间二等分、四等分、六等分）.
在（
-1,
1）内不一致收敛于0, 所以函数项级数
在（
-1,
1）内非一致收敛
.
上连续, 由的任意性知f （x ）在（-1, 1）内连续.
事实上, 设
, 取
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5． 设函数, 的周期为, 且试利用,
的傅里叶展开计算的和数.
【答案】傅里叶系数
由于f （x
）在
上连续, 由收敛定理知对
在端点x=0和令
, 有
, 故
.
处, 其傅里叶级数收敛于
, 有
6． 设有一半径为R 的球体, P 0是此球的表面上的一定点, 球体上任一点的密度与该点到P 0的距离的平方成正比（比例常数k>0）, 求球体的重心位置.
【答案】方法一 记所考虑的球体为,
以的球心为坐标原点O ,
射线OP 0为x 轴的正向建立坐标系, 则P
0 点的坐标为（R
, 0
, 0
）,
球面方程为
密度函数为
设重心坐标为
, 由对称性可知,
,
而
故
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，共
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