2017年郑州大学联合培养单位黄淮学院915高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、分析计算题
1． 设R 的线性变换在标准正交基下的矩阵为
（1）求A 的特征值和特征向量. （2）求
的一组标准正交基，使A 在此基下的矩阵为对角矩阵.
所以A 的特征值为
【答案】（1）计算可得当
时，特征方程为
此系数矩阵秩为1, 故A 有两个属于1的线性无关的解向量
从而属于1的所有特征向量为当
时，特征方程为
其中
不全为零.
于是原方程组等价于
故A 的属于4的线性无关特征向量为为任意常数.
（2） A 为实对称阵，从而存在正交阵T ，使
把先正交化：
正交化，再单位化.
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从而属于4的所有的特征向量为其中
再单位化：
故
2． 讨论
（1）
组成了A 的标准正交基，且A 在取什么值时下列方程组有解，并求
下的矩阵为对角矩阵.
（2）
（3）
【答案】（1）系数行列式为
当
时，方程组有惟一解，用克拉默法则解得
当
时，方程组是
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对增广矩阵进行初等行变换
出现矛盾方程“0=3”，故原方程无解. 当
时，方程组是
其一般解为
其中
（2）系数行列式为
当
时，方程组有惟一解
是两个自由未知量.
当
时，方程组是
前二个方程的和为当
时，方程组是
第三个方程减去第二个方程的两倍得
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与第三个方程矛盾，故无解.
与第一个方程矛盾，故无解.
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