2017年郑州大学联合培养单位河南工程学院915高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、分析计算题
1． 求证
【答案】
时，
又
所以
2． 元素属于实数域R 的
矩阵，按矩阵加法与数的数量乘法构成数域R 上的一个线性空间. 令
时，显然
.
均为n 阶方阵.
在这线性空间中，变换
是一个线性变换，试求F 的核的维数与一组基. 【答案】解法1取
的一组基
则由①可求得其中
令再令
则解法2设
从而
则
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得基础解系
且为KerF 的一组基.
解之，可得基础解系
3． 如果AB = BA，矩阵B 就称为与A 可交换. 设
⑴
（2）
（3）
余下步骤同解法1.
求所有与A 可交换的矩阵. 【答案】（1）
其中
为任意数；
（2）其中为任意数；
（3）
4． 设
其中为任意数.
求（1） A 的所有特征值与对应的特征向量；
（2）找出一个可逆矩阵P ，使得A 与一个对角阵相似； （3）应用A 的特征多项式，求【答案】（1）计算可得
所以A 的特征值为
当
时，得特征向量
且A 属于特征值 （2）的全部特征向量为且A 属于特征值当且A 属于（2）令
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当
时，得特征向量，
的全体特征向量组为
时，得特征向量
的全部特征向量为
则P 即为所求，因为
（3）由①式及凯莱定理知，
所以
5． 设
【答案】令
由换元公式得
这里r 是
中所有元素的代数余子式之和. 由
解得
6． 计算下面的行列式：
（1）
，求行列式
的值.
（2）
（3）
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