2017年郑州大学联合培养单位河南工程学院915高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设K[x]为数域K 上全体多项式作成的线性空间，式作成的n 维空间，问：以下的并给出一基：
；
（f 为K 上一给定多项式）
及K 上仅含偶次项的多项式!.
【答案】多项式
都属于
于是又若于是
是k 上n —1维线性空间，即若
则
且M 中任意有限个多项式显然都线性无关且对任意
，则
因此，
是K 上无限维线性空间，而且可认为M 为其一基（扩大的基的概念）
.
是无限维线性空间，又
为其一基（扩
作成线性空间显然. 而且类似d 易知，
大的基的概念）.
2． 设为3维列向量，矩阵
其中（1）秩（2）若
分别是
线性相关，则秩
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为由0及K 上次数小于n 的全体多项
对多项式普通运算是否作成K 上线性空间？维数为何？
即f （x ）的所有系数之和为0, 作成K 上线性空间显然. 又显然K 上
且线性无关：因为若
则即的
作成K 上线性空间显然，它是
维子空间
.
的一个子空间，又显然若
则K 即零空间，
中每个多项式都可由
线性表示，因此，
的转置，证明：
【答案】（1）证法1:
证法2:
（2）由于
线性相关，
不妨设
3． 用初等对称多项式表出下列对称多项式：
（1）（2）（3）（4）（5）（6）
【答案】（1）记
所以原式：（2）（3）
（
表示
经对换得到的各项组成的对称多项式，余同）
.
所以
（4）（5）（6）
4． 设A 为mxn 矩阵. 证明：
，行向量
使
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于是
，存在线性无关的m 元列向量
和n 元
【答案】设则存在m 与n 阶可逆方阵P ，Q 使
其
中
为r ×n 矩阵，而
矩阵，
而，为其线性无关的列向量）
为其线性无关的行向量）.
及n 元行向量
反之，设（2）式成立. 则由替换定理知，存在m 元列向量使
均线性无关. 现在令
并由（3）倒推即得从而r （A ）=r.
5． n 阶方阵A 是正定阵，也是正交阵，证明A 是n 阶单位矩阵.
【答案】证法1:A 是正交矩阵，即以存在正交阵T ，使
因此A=E.
又A 是正定矩阵，则
所以有
即
由此可得A 的特征值只能是±1，结合正定矩阵的特征值全大于零知，A 的特征值全为1，所证法2:A 是正定矩阵，则存在正交矩阵P , 使
又结合知所以
因此
故
6． m ，p ，q 适合什么条件时，有
（1）（2）
【答案】（1）因
为
的充要条件是
（2）
的充要条件是有
使
比较次数及首项系数，常数项，可设
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被
除所得的余式
为
即
所
以
代入，展开，得