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一、分析计算题

1． 设A 是以未知矩阵. 问：

①a ，b ，c 满足何种关系时【答案】①易知当a=b=c时，有

因此，当a ≠1时方程组无解，当a=l时有无穷多解. 当a=b≠c 时，对施行初等行变换

因此，当a ≠1且c ≠1时方程组无解；当a=l或c=l时有无穷多解. 当a=c≠b 或b=c≠a 时有同上类似结论• ②当a , b , C 互异时时有无穷多解为

而且

当a=b≠c 时，AX=0与

为：

当a=c≠b 或b=c≠a 时可仿上讨论.

2． 设A 是数域P 上的n 阶幂等阵，即

【答案】证法1:从

而

又

有

故

是直和，从而

且

所以

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为行向量的三阶方阵，X 是3×1

无解、有唯一解和无穷多解？

因此，当a , b , c 互异时方程组

有唯一解；

②a ，b , c 满足何种关系时AX=0只有零解、有无穷多解？并用基础解系表出其一般解.

AX=0只有零解；当a=b=c时，AX=0与与

为任意数.

为其一基础解系，从而其一切解为

为任意数.

同解，

同解，此

为其一基础解系，从而其一切解

为任意数.

证明：

而由

知

因

此

所

以

又

因所以

有

证法2:由证法1

知是直和.

又

是的解空间，维数为又由所以

3． 设a , b，C 是实数，

知

是线性方程

组

所以

的解空间，维数

为

证明：（1） A , B，C 相似.

（2）若BC=CB, 则A ，B 至少有两个特征值为0. 【答案】因为

所以A , B，C 的特征矩阵等价，故A ，B ，C 相似. 2）（2）比较矩阵BC=CB的（1，元得故

a=b=c.由

故A 至少有两个特征值为0.

4． 设式

且

是关于z 的次数

的多项式.

为任意数，证明：行列

即

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并举例说明条件“次数【答案】（1）当（2）当

是不可缺少的.

中有两个数相同时，①式显然成立（•. •有两行相同）.

互不相同时，令

由于（i ）若均有

的次数

则

因此F （x ）只有两种可能. 此时F （x ）最多只有，

即有n-l 个根，矛盾，即

再将x=a，代入，即证①式.

个不同根但由②式，将

代入

（3）条件“次数再取

是不可缺少的，比如设n=3, 且

这时①式左端为

即①式不成立.

5． 设T ，S 为线性空间V 的两个线性变换且

①②

【答案】①设故有因此，反之，设故②设故从而

因此，ST=S。同理，有TS=T 反之，设TS=T，ST=S.则任取故同理，

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证明：

则任取

但因为同理，有

则任取

故

则 即

则

故

任取

得

故

得

使

，有同理（S 与T 地位相当）