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一、分析计算题

1． 设不可约的有理分数

的根，证明:【答案】因为

是整系数多项式

。

是f （x ）的根，所以

，从而

比较两边系数，得

2． 设水银密度h 与温度t 的关系为

由实验测定得以下数据：

表

求

【答案】设

则因此

满足

满足下面的线性方程组

时水银密度（准确到小数两位）. 提示根据上题，求出

，又因为p , q 互素，

所以qx-p 是本原多项式[即多项式的系数没有异于±1的公因子]，且

此线性方程组有惟一解. 解为

将

及40代入

即知

时，水银密度

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时，水银密度

3． 若矩阵

（1）求a 的值.

的特征方程有2重根.

（2）讨论A 能否对角化.

（3）若A 可以对角化，试求矩阵P 使【答案】（1） A 的特征多项式

若2是2重根，则2是若2不是其重根，则（2）当对角化.

（3）当础解系

4． 设3阶方阵A 的特征矩阵，

时，A 的特征值为

对于

则P 是可逆矩阵，使得

与等价，

（1）求

的标准形；

，（2重）

解方程组

对于

解方程组取基础解系

取基

令

于代数重数，故不能对角化. 若

的根，故

是完全平方式，敌

时，2是A 的2重根，其几何重数为

即4的几何重数不等

故A 能

为对角矩阵.

|时，4是A 的2重根，但其几何重数为

（2）求A 的若当标准形. 【答案】（1）由故A 的初等因子为所以

的标准形为

（2）据A 的初等因子可得A 的若当标准形为

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与等价知，与等价.

从而A 的不变因子为

5． 设.

是线性变换

那么那么得

证明：

于是

（1）如果（2）如果【答案】（1）因题设

又故（2）

6． 设n 组方阵A

在复数域上全部特征值为

的全部特征值为

【答案】由若当定理，存在可逆阵T 使

再由

设

则

即知

的全部特征值为

注此结果也称为许尔定理.

7． 求正交变换，即求正交矩阵T ，使变换

化实二次型

为标准型（即平方和）.

【答案】（1）写出此二次型的矩阵

（2）求出A 的特征值 计算可得

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