2017年浙江大学数学学院601高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 利用递推公式计算反常积分
【答案】当n ≥1时，故有
。
2． 设有一无盖圆柱形容器，容器的壁与底的厚度均为0.1cm ，内高为20cm ，内半径为4cm. 求容器外壳体积的近似值.
【答案】圆柱体的体积公式为V 的增量△v ，因为
当R=4，H=20，△R=△H=0.1时
即溶器外壳的体积大约是
55.3
3． 计算下列二重积分:
，其中
;
.
，由题意，圆柱形容器的外壳体积就是圆柱体体积
，其中D 是由两坐标轴及直线x+y=2所围成的闭区域；
，其中
，其中D 是顶点分别为（0，0），
区域。
【答案】（1）
和
；
的三角形闭
（2）D 可用不等式表示为
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。于是
（3）
（4）D 可用不等式表示为于是
4． 求抛物线
【答案】由
的渐曲线方程。 , 及
, 知
故抛物线少=2Px的渐屈线方程为
其中y 为参数。或消去参数y 得渐屈线方程为
5． 求过点
【答案】
（2，9，﹣6）且与连接坐标原点及点
=（2，9，﹣6）. 所求平面与
的线段，
垂直的平面方程. ，设所求平面方程为
垂直，可取n=
2x ＋9y －6z ＋D=O
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将点（2，9，﹣6）代入上式，得D=﹣121. 故所求平面方程为
2x ＋9y －6z －121=0
6． 一底为8cm 、高为6cm 的等腰三角形片，铅直地沉没在水中，顶在上，底在下且与水面平行，而顶离水面3cm ，试求它每面所受的压力。
0.6]，【答案】如图设立坐标系，取三角形顶点为原点，取积分变量为2，则z 的变化范围为[0，，因此OB 的方程为易知B 的坐标为（0.06, 0.04）
。
，故对应小区间[x，x+dr]
的面积近似值为
图
记γ为水的密度，则在x 处的水压强为
7． 要造一个容积等于定数k 的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使它的表面积最小.
【答案】设水池的长为a ，宽为b ，高为c ，则水池的表面积为
约束条件作拉格郎日函数
。
。由
，故压力为
解得
是唯一可能的极值点，由问题本身可知A 一定有最小值，所以表面积
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