2017年浙江大学数学学院601高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、计算题
1
．
确。
【答案】在单连通区域G 内，
若
为某二元函
数
本题中有
具有一阶连续偏导数，
则向量的梯度（此条件相当
于
在G 内恒成立。
定
常
数
，
使
在
右
半
平
面
内
的
向
量
为某二元函
数
的梯度，并
求
是u （x , y ）的全微分）的充分必要条件是
由等式
得到
由于
在半平面x>0内，取
，故
即
则得
2． 求下列函数的二阶导数：
【
答
案
】
（
1
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）
（2）
3． 试用幂级数求下列方程满足所给初值条件的特解:
【答案】（1）因
故设方程的特解为
，则
代入方程，有
即
比较系数，得
依次解得
故（2）因
故设
是方程的特解，则
即或写成
比较系数，得
或写成
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代入方程，有
故
4． 计算曲线积分
，其中L 为圆周
，L 的方向为逆时针方向。
，Q （x ，y ）均无意义。现取r 【答案】在L 所围的区域内的点（0，0）处，函数P （x ，y ）
为适当小的正数，使 圆周l （取逆时针向）:x=rcost，y=rsint（t 从0变到27t ）位于L 所围的区域，可应用格林公式，在D 上，有
内，则在由L 和1所围成的复连通区域D 上（图）
图
于是由格林公式得
从而
5． 画出积分区域，并计算下列二重积分:
（1）（2）（3）（4〕
，其中D 是由两条抛物线，, 其中D 是由圆周, 其中
，其中D 是由直线
【答案】（l ）D 可用不等式表示为
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所围成的闭区域;
及y 轴所围成的右半闭区域;
； 及
所围成的闭区域.
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