2017年浙江大学数学学院601高等代数考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 求空间曲线积分
交线，从x 轴正向看去取逆时针方向。
【答案】解法一：L
的方程是
L 的参数方程是
按L 的定向t 从0到2π，于是代公式得
其中
解法二：L 是空间中的平面曲线，可用斯托克斯公式转化为求平面上的曲面积分。 圆柱面所截平面y=z-1部分记为化为上的第二类曲面积分，有
，按右手法则取上侧，用斯托克斯公式，将曲线积分，J
，其中L 是圆柱面
与平面
的
在xy 平面的投影区域易求，即
将此曲面积分J 投影到xy 平面化为二重积分，则
。
的方程为
解法三：L 是母线平行于z 轴的柱面与平面的交线，可投影到xy 平面上，然后用格林公式。由L 的方程
，L 在xy 平面上的投影曲线记为
，相应
地也取逆时针方向，于是代入积分表达式得
其中D xy ，是所围的圆域。
2． 判定下列各反常积分的收敛性，如果收敛，计算反常积分的值:
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）【答案】（1）（2）（3）（4）（5）
，当
时，该极限不存在，故该反常积分发散。
因此，
故
（6）
（7）（8）散。
（9）（10）
3． 讨论函数
【答案】而
故又
故函数f （x ）在x=0处连续。
4． 利用逐项求导或逐项积分，求下列级数的和函数:
当
时极限不存在，故原反常积分发
在点x=0处的连续性。
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