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一、综合题（计算、解答、证明）

1．

现存在两个有限长序列而其线性卷积结果为（1）

中哪些点与

问： 相同；

和

完全相同。

（2）同样，根据循环卷积和线性卷积的关系以及题目给定的条件，进行27个点循环卷积就能保

证和完全相同。

2． 已证明，当时

由傅里叶变换的特性，以归纳法证明

【答案】对于r=l和r=2均已证明，对于r = 3代入上述公式，有

现在利用频域微分特性，证明上述变换成立。

利用位移特性，得

得证。

同样，假定对于r —1也成立，则

得

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和其20点循环卷积结果为

（2）需要进行多少点循环卷积才能保证

【答案】（1）根据循环卷积和线性卷积的关系以及题目给定的条件，应有

3． 已知序列

求有限长序列X （k ）的IDET 。

现在对它的Z 变换在单位圆上进行N 等分取样，取样值为：

【答案】在z 平面的单位圆上对X （z ）进行N 等分取样，将导致时间序列x （n ）的周期性延拓，延拓周期等于N ， 则周期性延拓后的序列为：

设X （k ）的IDET 为即：

4． 证明DFT 的对称定理，即假设【答案】因为所以

由于

所以

5． 利用数字系统处理模拟信号的框图如图1所示，其中离散系统

的频率响应。

为连续信号

的频谱，

是

证明

的主值区间的值就是

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图1

（1）当（2）若使【答案】（1）当

试画出信号

抽样后的信号频谱不混叠，

时：

则

|的频谱如图2所示：

的频谱；

抽样最大间隔应为多少？

图2

（2）由乃奎斯特抽样定理知：

即若要不混叠，则

抽样最大间隔为

6． 已知序列的双边Z 变换为：

试求其可能对应的序列

【答案】根据由部分分式展开法，可得：

可能对应以下序列： （1）当收敛域为

时：

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