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一、综合题（计算、解答、证明）

1． 已知

是长度为N 的有限长序列的有限长序列

求

【答案】根据题意

其中

2． 证明DFT 的频域循环卷积定理。 【答案】DFT 的频域循环卷积定理重写如下：

设

的长度分别为N 和M ，

则

其中

循环卷积定理。

就证明了 DFT 的频域

的关系。

现在将长度扩大r 倍（补0增长），得

到一个长度为

根据DFT 的惟一性，只要证明

3． 已知一线性时不变系统的冲激响应为h , 试用计算机分析其频谱，（n ）即求出

【答案】按照基2时间抽选的FFT 算法，用高级语言编写计算机程序，运行后输出结果如下：

4． 试确定下列序列的傅里叶变换。

【答案】离散信号的傅里叶变换

上式中的级数收敛是因为

所以

5． 按整数因子D=4抽取器原理方框图如图1（a ）所示。其中，的频谱如图1（b ）所示。请画出图1（a ）中理想低通滤波器

（m ）的频谱特性曲线。

输入序列

的频率响应特性曲线和序列

图1

【答案】

抽取因子线以及序列

图1（a

）中理想低通滤波器

的频率响应特性曲

的频谱特性曲线分别如图2（a ）以及（b ）和（c ）所示。

图2

6． 设

为两点序列

再求其

..

试求其

然后在序列

从两者

的

后补两个零，

使其成为四点序

列结果比较，显然有

试作图解释这种现象。

【答案】用图解法计算离散傅里叶变换。根据：

可得：当

补零后变为

此时

计算4点的蝶型图，如图1所示。