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一、综合题（计算、解答、证明）

1． 证明线性卷积服从交换律、结合律和分配律，即证明下面等式成立：

【答案】（1）因为

令

则

（2）利用上面已证明的结果，得到

交换求和号的次序，得到

（3）

2． 已知用下列差分方程描述一个线性时不变因果系统

（1）求这个系统的系统函数，画出系统函数的零极点图并指出其收敛域； （2）求系统的单位冲激响应；

（3）判断系统的稳定性，如果不稳定，试找出一个满足上述差分方程的稳定的（非因果）系统的单位抽样响应。 【答案】（1）已知：将上式进行变换，得到：

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因此：零点：令

求出极点：

极零点分布图如图:

图

由于限定系统是因果的，收敛域需选包含点在内的收敛域，即（2）由题意可知：

式中令当

时：

因为

是因果序列，

（3）因为

所以易知系统不稳定。

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如果要求系统稳定，收敛域需选包含单位圆在内的收敛域，即：

当时，内只有极点只需求点的留数，

当时，内只有两个极点，

和

那么:

因为是一个阶极点，改成求圆外极点留数，圆外

极点只有一个，即得：

3． 设计一个巴特沃斯高通滤波器，要求其通带截止频率最大衰减为3dB , 阻带最小衰减

【答案】（1）确定高通滤波器技术指标要求：

阻带截止频率

处

求出该高通滤波器的系统函数

（2）求相应的归一化低通滤波器技术指标要求：套用高通到低通频率转换公式，得到

（3）设计相应的归一化低通

题目要求采用巴特沃斯类型，故

所以，取N=3, 查表法得到三阶巴特沃斯归一化低通G （p ）为

（4）频率变换。将G （p ）变换成实际高通滤波器系统函数H （s ）:

式中

4． 画出8点按频率抽取的基2 FFT算法的运算流图。 【答案】8点按频率抽取的基2 FFT算法的运算流图如下：

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