2017年南京财经大学应用数学学院823高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 计算半立方抛物线
被抛物线
截得的一段弧的长度。
【答案】联立两个方程得到两条曲线的交点为和，由于曲线关于
x 轴对称，因此所求弧段长为第一象限部分的2倍，第一象限部分弧段为
，故所求弧的长度为
2． 设向量的方向余弦分别满足（1）与坐标轴或坐标面的关系如何?
【答案】（1）由（2）由（3）由直于xOy 面.
3． 曲线弧
【答案】
由
当当因此
时, 时,
； ；
，知α=
，故向量与x 轴垂直，平行于yOz 面.
知β=0，故向量与y 轴同向，垂直于xOz 面.
，知α=β=
；（2）
；（3）
，
，问这些向量
，故向量垂直于x 轴和y 轴，即与z 轴平行，垂
上哪一点处的曲率半径最小? 求出该点处的曲率半径。
曲线
的曲率为
为K 的极大值点。
又驻点惟一, 故极大值点也是最大值点, 且K 的最大值为
此时曲率半径
最小, 故曲线弧
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上点上的曲率半径最小且曲率半
径为
4． 一物体由静止开始运动, 经t 秒后的速度是
（1）在3秒后物体离开出发点的距离是多少？ （2）物体走完360m 需要多少时间?
, 问
【答案】（l ）设此物体自原点沿横轴正向由静止开始运动, 位移函数为s=s（t ）, 则
于是由假设可知s （0）=0, 故（2）由
, 得
, 所求距离为s （3）=27（m ）。
5． 将周长为2p 的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体. 问矩形的边长各为多少时，才可使圆柱体的体积为最大?
【答案】设矩形的一边长为x ，则另一边长为p-x ，假设矩形绕长为p-x 的一边旋转，则旋转所成圆柱体的体积为
由
求得驻点为
。
和时，绕
由于驻点唯一，由题意又可知这种圆柱体一定有最大值，所以当矩形的边长为
短边旋转所得圆柱体体积最大.
6． 将绕在圆（半径为a ）上的细线放开拉直，使细线与圆周始终相切（如图），细线端点画出的, y=a, 算出这曲线上相应于轨迹叫做圆的渐伸线。它的方程为x=a（cost+tsint）（sint-tcost ）的一段弧的长度。
图
【答案】
，
，
因此有
。
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7． 选用适当的坐标计算下列三重积分：
（1）
，其中
为柱面
及平面
所围成的在
第一卦限内的闭区域；
（2）区域；
（3）区域；
（4）确定。
【答案】（1）利用柱面坐标计算，
可表示为
于是
（2）在球面坐标系中，球面示为
（图1）
于是
的方程为
，即
可表
，其中闭区域由不等式
所
，其中
是由曲面
及平面
所围成的闭
，其中
是由曲面
及平面
所围成的闭
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