2018年曲阜师范大学工学院764高等代数B(只含线性代数)考研核心题库
● 摘要
一、分析计算题
1．
设
为一个非零常数. 作线性方程组（1）解当且仅当（2）对任何
有解.
有解的充要条件是A 可逆
.
分别有解
令
所以A 可逆
. 如A 可逆，
则
同理可答:（2）对任
何
事实上，由
有解
有
解知
可逆，因此问题归结为证
明
得
，则
【答案】首先证明，（1）对任何
设对n 阶单位矩阵E 的第i 列
有
为数域P 上的n 阶方阵，满足条件及（2）
试证明方程组（1）对任何
其中b
有
故有问题得证.
是V 上k 个线性函数. 的一组基
定义
2． 设V 是数域P 上一个线性空间,
【答案】设
是V 的一个子空间. 取
（1）证明:V 的任一个子空间皆为某些线性函数的零化子空间. 再扩大为V
的一组基则
显然任
意
中
有
中至少有一个
于是对这个j 有
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若,
则
故
即 3． 求
的符号差.
是
的零化子空间.
【答案】二次型矩阵为
下面通过求A 的特征值解决该题. 事实上，由
4． 设向量组
知，矩阵A
的特征值
.
重），所以（f 的正惯性指数-1，负惯性指数为0, 因而其符号差为
试问：当（1）
可由（2）
不能由（3）口可由【答案】（1）可由
满足什么条件时，
线性表出，且表示法惟一？ 线性表出？
线性表出，但表示法不惟一? 并求出一般表达式.
表示，且表示法惟一
线性无关
（2）当
则线性方程组①的增广矩阵为
当（3）当
时，
秩且
方程组①无解，即口不能由时，秩
秩
线性表出.
时，令
方程组①有无穷多解，此时的表示法
不惟一. 由②知方程组①与下面方程组同解
令
其中为任意常数.
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则所以的表达式为
5． P 是数域，A , B
，
（1）（2）
【答案】 （1）
E 是单位阵，且证明：
（2）由上一问题得
两边消去E 得
6． 用初等对称多项式表出下列n 元对称多项式：
（表示所有由经过对换得到的项的和. ）
【答案】
7． 在欧氏空间V 中
（1）若向量是V 的子空间，且
【答案】 （1）因为
几何解释:表示菱形两对角线互相垂直. （2）由已知有
故S 和
是V 的予空间，且
是同一子空间的正交补，由正交补的惟一性，即证
.
，故成立，且
，所以
. 等长，证明:
正交，作出几何解释;
是V 中的一切与s 正交的向量所成集合，证明:
S 是V 的子空间，（2）设V 是n 维的，
8． 设T , S是n 维空间V 的两个线性变换. 证明:
【答案】证法Ⅰ令于是
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则:
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