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一、分析计算题

1． 设n 阶矩阵A ，B 可交换，证明

【答案】利用分块初等变换，有

因为AB=BA，所以

于是，有

即

2． 求正交变换，即求正交矩阵T ，使变换

化实二次型

为标准型（即平方和）.

【答案】 （1）写出此二次型的矩阵

（2）求出A 的特征值 计算可得

所以

（3）求出相应的线性无关特征向量

当

时，由

即解齐次线性方程组

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得基础解系（即线性无关的特征向量）当

时，由

即解方程组

得基础解系（即线性无关的特征向量）当时，由

即解方程组

得基础解系（即线性无关的特征向量）（

4）正交单位化 由于

己经正交，只单位化即可，令

并记令

则T 为正交阵.

（5）作正交变换化为标准形

则

3． 设

（

2）若

为正交变换，且

是线性空间V （不必是有限维）上的线性函数, 证明:

的核

任一向量X

可以唯一表示为由

令

于是

故

（1）函数是V 的极大子空间.

下证

【答案】（1

）显然S 是V 的子空间, 若T 是真包含S 的子空间, 则

则从而即S 是V 的极大子空间.

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（2）由前面的证明知分解的存在性成立, 且若

则由代入上式立得唯一性得证.

4． 设为数域K 上全体n+1阶对称方阵作成的K 上的线性空间, 式作成的K 上的线性空间. 证明:

【答案】令则所有是

又易知所有

作成

为都是

阶方阵, 令

元素是1其余元素全为零的阶对称方阵, 共有

是K 上三元n 次齐次多项

个且显然为的一基. 因此

,

的维数

的一基,

其个数就是展开后

非同类项的项数, 亦即从三个元素x , y, z中每次取n 个的重复组合数, 即

这也就是的维数. 由于

5． 设

对任意多项式

【答案】由

则A 的特征值是3, 3, -6.注意到A 是实对称矩阵，故存在正交矩阵U , 使得

设

则

6． 设线性空间

这里

对于任意取定4个不同实数

, 令

的维数相同, 故同构.

求