2018年青岛科技大学数理学院860高等代数考研核心题库
● 摘要
一、选择题
1． 若
则
A.m+n
B.-（m+n） C.n-m D.m-n
【答案】C
都是4维列向量，且4阶行列式=（ ）.
【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得
2． 设
则3条直线
①
（其中A. B. C. 秩D.
线性相关，
【答案】D 【解析】令其中
秩由秩从而可由
. ，可知
则方程组①可改写为
②
则3条直线交于一点
线性无关，由秩
可知1
线性相关，即
可由
线性表出，
线性表出.
线性相关，故选D.
方程组①有惟一解
方程组②有惟一解
线性相关 线性无关
线性无关
）交于一点的充要条件是（ ）
3． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵.
记
则A=（ ）.
A.
B.
C.
D. 【答案】D
【解析】由题设知，
所以
4． 设
是3维向量空间
的一组基,
则由基到基的过渡矩阵为（A.
B.
C.
D.
【答案】A
5． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
秩A , 则线性方程组（A. 有无穷多解 B. 必有惟一解
C.
D. 必有非零解
【答案】D 【解析】阶方阵，且秩秩
.
）.
）
二、分析计算题
6． 设
为由全体正实数对运算
作成的实数域R 上的线性空间, R 对普通加法与乘法作成R 上线性空间. 证明:【答案】证法1 任取一个定实数射.
又对任意又因为对任意
即b 是一正实数, 令
和
有
因此, 一维空间. 有
即
从而
也作成实数域上
时
中任取一非零向量a , 即a 是一个非1的正实数, 则当
即b 为正实数, 则
与R 都是实数域上
证法2 实数集R （对普通加法与乘法）作成实数域上一维线性空间. 下证
中的零向量是1, 今在
即a 在R 上线性无关. 再任取
中每个向量都可由a 线性表示. 因此,
则
故又是满射, 从而为双射.
则易知
是R 到的一个映射, 且显然是一个单
也是实数域上一维空间, 即
一维空间, 故
7． 求齐次线性方程组
的解空间（作为
的子空间）的一组标准正交基.
将这3个向量正交化得
再单位化，即得解空间的一组标准正交基:
8． 已知二次型
（1）求的值； （2）求正交变换
（3）求方程
把的解.
的行列式为0,
1化成标准形；
的秩为2.
【答案】齐次线性方程组的一个基础解系为
【答案】 （1）由于二次型f 的秩为2, 则对应的矩阵