2017年重庆理工大学数学与统计学院601数学分析考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
在
上三阶可导，证明存在
使得
【答案】则有使得
即
2． 证明
:
【答案】
故
3． 设
(1) (2) (1) 设(2) 设
右边
4． 设在
【答案】由
上连续，且
证明
当
时，有
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连续使用柯西中值定理，
证明：
左边. 左边.
则 右边
则
【答案】可以看出交换a , b 的位置，这两个等式两边的值都不变. 不妨假设
知，对于数1，存在从而
即在
在内有界，又由上有界. 设
将
在上连续知，分拆成两项
在上有界.
综合上面可得
其中第一项当时必趋于零. 事实上
对第二项使用第一中值定理，存在由于故证得
时
，
所以
使
从而
二、计算题
5． 求下列圆环L 的质量，已知圆环
【答案】圆环L 的质量为因此只需求
其中S 为圆环的长度.
事实上，此圆环为单位圆上的大圆，因此其周长为综上所述，圆环L 的质量为
6． 求下列幂级数的收敛区间：
(1) (2)
【答案】(1) 记
则
所以原幂级数的收敛区间为(-1，1) . (2) 令
则原级数变为
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L
为线密度
为
注意到在L 上时，有
则
J
所以原幂级数的收敛区间为
7． 求下列不定积分：
【答案】
（4）因为
所以
（5）因为
所以
即
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