2017年重庆理工大学数学与统计学院601数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设函数立等式：
【答案】设
则
在区间
，上严格递增且连续，
. 注意到
故
2．
设
是周期为
的连续函数，且其傅里叶级数
处处收敛，求证这个傅
里叶级数处处收敛到
【答案】设
由条件知由费耶定理，知故
利用极限的性质，得一致收敛于收敛于
为f 的极小值点，则为，在Ⅰ上惟一的极小值点。
不妨设
因此，对于任意的与是的极小值点矛盾. 故
4． 证明数列
【答案】显然设
则
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为的反函数，试证成
所以
3． 设为区间，上严格凸函数. 证明：若数知，对任意
总有
【答案】反证法. 若有异于的另一极小值点由是I 上的严格凸函
只要充分接近0, 总有是在I 上的惟一极小值点。
的极限存在，并求其值. 有上界
.
但是这
下证
即
有上界
解得
的极限存在，设
在
中，令
•得
由单调有界定理，
二、计算题
5． 求极限
其中 f (x ) 在[0, 1]上连续，f (0) =0, f (0) =1. 【答案】作变
换
所
以
故
6． 设
【答案】对方程组
关于x 求导得
解之得
7． 设
【答案】方法一作变量代换
则
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则变
为
试求
方法二因为
所以
8． 在[0，π]上展开
【答案】将
为余弦级数. 延拓为
上的偶函数，
则
由收敛定理，对
在点
9． 求函数微性.
【答案】
若而
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处，其傅里叶级数收敛于
在原点的偏导数，并考察的可
在点可微，则+且