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一、证明题

1． 叙述(1) 有限覆盖定理和(2) 魏尔斯特拉斯

【答案】(1) 有限覆盖定理：若个开区间来覆盖[a，b].

(2)

定理(致密性定理) ：有界数列必存在收敛子列.

若

中任意一子列的极限. 由此可知，存在

中无收敛子列，则对任意

的在

中至多只含

中存在有限个开区间

根据限项，这与

的构造性质可知，中，

中也只含有

中的有限项，从而[a, b]中也只含有

中的有

不是

有

显然

反证法. 设数

列

中的有限项. 于是得一满足上述条件的开区间族

为[a，b]的一个开覆盖，由有限覆盖定理，

定理(致密性定理) ，并用(1) 证明(2) .

中必存在有限

为闭区间[a，b]的一个(无限) 开覆盖，则在

矛盾，所以结论得证.

二、解答题

2． 把重积分

作为积分和的极限，计算这个积分值，其中

，

并用直线网

分割这个正方形为许多小正方形，每一小正方形取其右顶点作为其节

点.

【答案】

3． 求由下列曲面所围立体V 的体积：(1) V 是由

(2) V 是由曲面【答案】(1)

由故体积

这里应用变换(2) 由

底面为

所以立体V 在xOy 平面上的投影为D :

则体积

且

•, 所以

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和z=x+y所围的立体；

所围的立体.

因此积分区均

立体的顶面为

4． 讨论黎曼函数

【答案】（1）先证

在[0, 1]上无理点都连续. 设无理数

若X 为0，1或无理数，总有

若取

的，记为

在[0, 1]中既约分数的分母不大于n 的仅有有限个，选其中最接近于则当

时，有

（2）再证（0，1）上的有理点均为f （x ）的第二类间断点. 设有理数

使

再取有理数列

由

则使

所以

则

不存在. 即证

为f （x ）的第二类间断点.

取无理数列

在区间[0, 1]上的不连续点的类型.

（3）类似可证1不是f （x ）的左连续点. （4）可证0是f （x ）的右连续点. 5． 在

上把下列函数展开成傅里叶级数

上的偶函数，故

根据傅里叶级数展开式的系数公式可得

所以

故其傅里叶级数为

【答案】易知f (x ) 是

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6． 将

【答案】令

的幂展开成幂级数。 则,

因此

因为当-l

即得

7． 设函数f (x ) 和g (x ) 在[a, b]上可积，则

【答案】

因

则

8． 试求下列极限：

【答案】(1) 当

时，因为

且

(2) 因为x ，y 充分大时，

而

故

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亦即

故