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一、证明题

1． 设函数f （x ）在闭区间[0, 1]上连续, 在开区间（0, 1）内可微, 且f （0）=f（1）=0，证明:

（1）存在（2）存在【答案】（1）令

, 使得使得

, 则

∵函数∴函数

在闭区间在闭区间

上连续, 上连续.

使得

（2）令

显然

在闭区间

上连续, 在开区间

且由（1）的结论知, 存在根据罗尔中值定理, 存在

使得使得

由于

所以有

2． 设f （X ）在

内可微. 由于

即存在

使得

.

,

由连续函数的零点存在定理知, 存在

上n+1阶导数且. 由微分中值定理

及

求证:..

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【答案】将f （a+h）在a 点作带有佩亚诺型余项的泰勒展开

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对

在a 点作同样的展开, 有

将上式代入式（1

）可得

比较式（2）、式（3）, 且有

,

则

9

故

3． 设

为m

个正数, 证明:

【答案】设由于

, 则

因此

4． 设

,

, 定义函数

证明:函数f （x , y ）在

D 上可积,

且

【答案】因为

f （x , y

）在D 上的不连续点都分布在线段y=x

（件知f （x , y ）在D 上可积. 对D 的任一分法T , T 将D 分成n 个小区域别为和为

于是

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）上, 由可积的充分条

, 它们的面积分

, 其积分

, 在上任取一点. , 则

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二、计算题

5． 求由分的区域, 则

作广义球坐标变换:

所围的立体的体积.

上, 用

表示位于第一卦限部

yOz 平面对称. 在上半空间【答案】显见立体关于xOy 平面、

故

6． 下列级数哪些是绝对收敛, 条件收敛或发散的:

（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）

而

收敛, 所以原级数绝对收敛.

【答案】（1）因为

（2）因为

（3）根据p 的取值范围讨论. 设

时, 因

由级数收敛的必要条件知原级数发散.

不存在, 故原级数发散.

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