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一、证明题

1． 设

射; （2）证明:f 在

【答案】（1）因为

所以

由于（2）对于即

且

故一一映射, 由

有

根据定理有

2． 给定曲面

（a , b, c为常数）, 或由它确定的曲面z=z （x , y）, 证明:

（1）曲面的切平面通过一定点; （2）函数z=z （x , y）满足方程【答案】（1）由

及F 1, F 2不能同时为零, 可得

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, （1）证明:当时, <

.

, 但在R 上, f 不是一一映

2

上是一一映射, 并求

, 故在R 上f 不是一一映射.

当且仅当

2

, 当且仅当, 且, 因此f 在D 上是

化简得

由此可以看出, 曲面z=z （x , y ）的切平面过定点（a , b, c ）. （2）对上式两边再分别关于x ,

y 求偏导, 得

即

由此可见, 当

3． 证明

:函数

在点（0, 0）连续且偏导数存在, 但在此点不可微. 【答案】因为

从而

所以, f （x ,

y）在点（

0, 0）连续. 由偏导数定义知

同理但当

时, 其值为0. 所以,

所以, f （x , y）在点（0, 0）的偏导数存在.

考察

由于当

时, 其值为

不存在,

故f （x , y ）在点（0, 0）不可微.

时, 等式成立. 由函数连续可微知, 对x=a或y=b时等式仍成立.

二、解答题

4． 求空间曲线

【答案】将

代人参数方程得

在P c （对应

）处的切线方程和法平面方程.

该曲线的切向量为

由此得切线方程为

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法平面方程为

即

5． 计算曲面积分

S

是闭曲面

【答案】由高斯公式, 可得

其中

是由闭曲面S 所围的空间区域.

, 则

区域力变成:

. 由对称性, 有

6

．

（1）讨论函数

（2）求函数【答案】

（1

）显然

在

,

所以f （x , y ）在（0, 0）处不可微. （2）方法一作Lagrange 函数4

即

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, 方向取外侧.

作变换:

在（0, 0）处的可微性. 下的最大值与最小值.