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一、证明题

1． 设

证明：

【答案】原不等式等价于

取

的凸

函数. 若记

由凸函数的性质

即

亦即

2． 将函数

【答案】由

逐项积分上式得

因为

及根据定理

可知级数 3． 设

【答案】

则.

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则由可知

，

是上

在点展开为幂级数，并证明此幂级数在[0，1]上一致收敛.

在[0，1]上连续。

再根据以上定理知幂级数在[0，1]上一致收敛.

证明f (x ，y ) 在D 上连续，但不一致连续.

由极限的四则运算法则知

所以f (x ，y ) 在点在D 中取两个点列

连续，从而f (x , y) 在D 上连续.

则

但

所以f (x , y) 在D 上不一致连续.

4． 证明:若

则.

为.

对任意

上连续，所队有

其中

依次进行下去，可知存在当又

5． 设f (x ) 在[0, 1]上连续，且收敛.

【答案】对任意的

使从而

因为

收敛，所以

从而

时

，

由于f (x ) 在[0, 1]上连续，所以

在[0, 1]上连续. 由连续函数在闭区间的性质可知，

存在

在

上处处收敛，证明：该级数在[0, 1]上绝对且一致

时，有连续，所以

有

所以

使得

'

在

有

上存在最大值M.

其中

上的连续函数，且对一切

有

【答案】

显然

，

而对于上面的

对一切

为在[0, 1]上的最大值，从而存

在使得

当

由于收敛，故该级数在[0，1]上绝对且一致收敛.

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6． 证明：若函数某个小区域

当

上无界.

在有界闭区域D 上可积，则在D 上有界.

，必在

【答案】假设f 在D 上可积，但在D 上无界，那么，对D 的任一分割

时，任取

令

由于f 在从而

另一方面，由f 在D 上可积知：存在任一积分和

都满足

这与①式矛盾，因此f 在D 上有界.

7． 设

取

则当

时. ，证明

于是

即

所以对任意

的

存

在

使得

当

*对任一 D 的分割

上无界，从而存在

使得

时，T 的

【答案】因

为时

，

二、解答题

8． f (x ) 是以

(1) 求函数

为周期的连续函数，其傅里叶系数为

的傅里叶系数

(2) 利用题(1) 的结果证明帕塞瓦尔(Parseval ) 等式

【答案】⑴(2) 由题(1) 得

在G (x ) 中令

得

即

9． 计算积分

其中

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