2017年山东科技大学数学与系统科学学院708数学分析考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 证明：函数
有无穷多个极大值，但无极小值. 【答案】
令
解方程组可得无穷多个驻点
此时
故f (x ，y ) 在驻点当n 为奇数时，驻点为f (x , y ) 在
2． 证明:
若函数
在
【答案】设函数
在区间
使得在区间
处取得极大值，极大值为
此时
处无极值. 综上知，f (x , y ) 有无穷多个极大值，但无极小值.
上连续
，
且
上有最大值M ，最小值m , 不妨设
由闭区间上连续函数的介值定理，可知在
内至少存在一点
使得
当时
时，
取
即可.
则对
则
当n 为偶数时，驻点为
内至少存在一点
二、解答题
3． 应用格林公式计算下列曲线所围的平面面积：(1)
星形线
【答案】(1) 由于星形线的对称性，
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(2)
双纽线
(2) 设双纽线所围的面积为S , 双纽线的极坐标方程为
且图形关于y 轴对称的，因此
4． 应用对参量的微分法，求下列积分：
【答案】(1) 若
所以
同理
又因所以
因而
(2) 当因而
时
为连续函数，且具有连续导数，所以
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故当当时，令
时
，
则
(常数) ，又
有
于是
从而
当
时，
同理可得综上所述得
5． 求最小实数C ，使得满足
【答案】一方面
另一方面，如果取
则有
而
由此可知，最小实数
6． 抛物线
【答案】设圆故
把圆
分成两部分，求这两部分面积之比。
表示另一部分的面积，则
面积为
于是
的连续函数
都有
表示图中阴影部分的面积，
图
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