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一、证明题

1． 证明：若

【答案】

2． 证明下列各式

【答案】(1) 令

则

因此

(2)

设

代入原方程有：

(3)

令(4)

令

则则

因此

. 因此

3． 设定义在

上连续函数列

满足关系

对于在

的可积函数f ，定义

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存在，则

证明

收敛，且有不等式

【答案】设

依题意可知

均在

上可积

.

其中

所以故即级数

4． 设

的部分和有上界，从而定义在闭矩形域

固定的

收敛，且上，若f 对y 在为y 的连续函数，

故对

又由于对x 关于y 为一致连续. 故对上述

且

现取

便有

只要

且

时，总有

因此，f 在S 上连续.

也存在

对满足

的任何y ，

只要

上处处连续，对x 在

当

上(且且

关于y 为一致连续，证明f 在S 上处处连续.

【答案】

设

时，有

二、解答题

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5． 设

【答案】三方程分别对求偏导数，得

解之得

同理，三方程分别关于

求偏导数，则可解得

6． 试问集合

与集合

是否相同？

【答案】给出的两个集合是不相同的，第一个集合挖去了两条线

段

第二个集合挖去了一个点(a , b) .

7． 试求心形线

【答案】所求平均值为

上各点极径的平均值。

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