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一、证明题

1． 设

(1) (2) 若

【答案】(1) 因为

证明：

则

所以

又因为

(2) 因

为

所以对

于于是

因为

2． 设

(1) 存在

在

使

(2) c 的最小值为. 【答案】(1) 将则

由巴塞伐尔等式得

故

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所以

即

存在N ，使得当n>N时

，

所以

上连续可导，

证明：

在上展开成正弦级数

由此可见，只要式，

故c 的最小值为

3． 设在

上连续

，

.

上述不等式总成立.

使式(1) 中等号成立. 易见，当

时，式

变成等

(2) 为求c 的最小值，必须求

证明

【答案】因为

所以

从而

4． 试证明：函数

阶偏导数) 。

【答案】F 的等值线为故等值线在点的法向量

5． 设

【答案】因为

于是，

或

6． 证明：对于由上、下两条连续曲线的平面图形A , 存在包含A 的多边形的极限存在且相等。

【答案】设等分分割

取

于是，分别取

与

在

上的每一段，相连构成多边形

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在点的梯度恰好是F 的等值线在点的法向量(设F 有连续一，它在点的切线方程为

. 即结论成立.

或

所以

(

当

对) ，即

即

证明

：

与以及两条直线

使得当

与所围

时，它们的面积

以及被A 包含的多边形

分别取与在上的每一段，

相连构成多边形

因此包含A ，A 包含又因为

而与奋

：上连续，因而可积，且

因此

7． 用确界原理证明有限覆盖定理。

【答案】构造集合H

覆盖闭区间

所以存在一个开区间

能被H 中有限个开区间覆盖. 明显，S 有上界. 又因为

使

取

由确界原理可知，存在

知，必存在

矛盾. 因此

使

则

即

下面证明取

加上，

就得到

和

能被H 中的有限个开区间覆盖. 从而

即

用反证法. 若则由H 覆盖闭区间使

则

所以

也能被H 中有限个开区间所覆盖，所以

这与

能被H 中有限个开区间覆盖，把

所以定理结论成立。

二、计算及讨论题

8．

【答案】原式=

9． 求下列周期函数的傅里叶级数展开式：

【答案】(1) f (x ) 是周期为的周期函数

如图所示

.

图

因f (x ) 按段光滑，故可以展为傅里叶级数，又f (x ) 为偶函数，故

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