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一、证明题

1． 定义双曲函数如下：

双曲正弦函数

双曲余切函数

证明：

【答案】

2． 设

证明函数.

存在惟一的零点.

所以存在

之间至少存在一个零点. 又因

使

所以f (x ) 在

则由f (x ) 显然

上单调

双曲余弦函数

双曲正切函数

【答案】因为连续知，f (x ) 在.

递増，所以f (x ) 存在惟一的零点.

3． 设是集合E 的全体聚点所成的点集，

【答案】因为是的一个聚点，所以

是P 的一个聚点. 试证：自

设

又因为是

集合E 的全体聚点所成的点集，因此是E 的一个聚点. 所以

又因为 以.

4． 证明棣莫弗

【答案】设

5． 设

【答案】

证明：复合函数

在

连续，但g 在

不连续.

因此

.

即

是E 的一个聚点，所

公式

代入欧拉公式得

故

在x=0连续. 由

上的光滑函数，且

为f 的傅里叶级数

【答案】因为f 为又

故

即

上的光滑函数，所以f (x ) 在

上有连续的导函数

可知g 在x=0不连续。

为f 的导函数的

6． 设f 为傅里叶系数，证明

二、解答题

7． 设函数

【答案】若

使

若若这与对

则当则当在区间

上二次可微，且有界. 证明：

. 使得

则

必变号. 若不然，

不妨设

咐，有

并令

时，有

有界性假设相矛盾.

可类似地证明.

试问

在

在[a，b]上是否可积？为什么？

存

在

当

使得

严格递增.

取

变号，由导数的介值性，

. 并令

下证：在题目的条件下

，

8． 设f 在[a，b]上可积，且

【答案】设

且

任给，由

于

时，有

在[a, b]上是可积的. 事实上，由于f （x ）在[a，b]上可积. 从而有界，

上一致连续，因此对上

述

由于f （x ）在[a, b]上可积，对上述正数和由可积第三充要条件知，存在某一分割T ，使

得在T 所属的小区间中，知，在T 的小区

间

的所有小区间

即

于是

的总长:而在其余小区间

由式（*）

知

另一方面，至多在

在[a，b]上可积。

时的图像.

’图像关于y 轴对称. 由与

由以上可

注

意

，而这些小区间

的长至多为

9． 试比较函数

【答案】由

与

故由可积的第三充要条件知与

分别当a=2和可知，

与

与

可知

，

的图像关于x 轴对称.

由于互为反函数，因而它们的图像

关于直线y=x对称. 同理，的图像也关于直线y=x对称，如图所示

.

图

10．设

【答案】

试问在怎样的点集上gradu 分别满足：

即

(2) 若gradu 平行于z 轴，则

即

(3) gradu恒为零向量，则

即解得

11．设S

是椭圆面

为点

的上半部分，

点到平面的距离，求

为S 在点P 的切平面

，

(1) 垂直于x 轴；(2) 平行于z 轴；(3) 恒为零向量. 由gradu 垂直于z 轴，而z 轴的方向向量是(0, 0, 1) , 故

【答案】设(X ，Y ，Z ) 为上任意一点，则的方程为