2017年云南师范大学数学学院829数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设为区间，上严格凸函数. 证明：若数知，对任意
总有
因此，对于任意的
与是的极小值点矛盾. 故
2． 设
【答案】
由题设
于是原命题得证.
3． 设
在由封闭的光滑曲线L 所围成的区域D 上具有二阶连续偏导数. 证明：
其中
是
沿L 外法线方向n 的方向导数.
所以
因为
在D 上具有连续偏导数，由格林公式得
故
可知
只要充分接近0, 总有是在I 上的惟一极小值点。
介于1与之间.
但是
这
为f 的极小值点，则为，在Ⅰ上惟一的极小值点。
不妨设
由是I 上的严格凸函
【答案】反证法. 若有异于的另一极小值点
证明
【答案】因为
二、解答题
4． 设
求
【答案】
5． 计算下列积分：
【答案】(1) 令x=l-t，则dx=-dt, 代入原积分，有
所以
故
(2)
对上式右端第一个积分作变换：x=l+t, 则
于是有
6． 利用迫敛性求极限：（1）
【答案】（1）因为于是
而
由迫敛性得
（2）因为又因为
所以当
时
（2），所以当
时
由迫敛性得
7． 指出下列函数的间断点并说明其类型：