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一、证明题

1． (1) 设级

(2) 讨论级数

在X 上一致收敛，求证：级数的一般项

在

上的一致收敛性.

使得

即得

在X 上一致趋于零.

由

可知，

时任意固定的x 收敛. 但

因此根据(1) ，原级数在；x>0上不一致收敛.

2． (1) 设

在

上可导. 若存在

上可导，设存在

使

使

)

证明:存在(2)

设

在

使得

(2) 对固定的，

有

在X 上一致趋于零；

【答案】(1) 由一致收敛原理，

设

证明：存在

使

【答案】(1) 方法一反证法：假设结论不真. 则对所有不妨设对一切. 当令

充分大时，若有

必有

或者，都有

则有

这与条件矛盾； 同理对所有

都有

时，亦可得出矛盾，所以假设不成立，故原结论成

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，则

在

上严格单调递增.

对上述不等式取极限，则得

立.

方法二若下设因为

所以对任意取定的数使得从而由若或

当当在

(2)

由于对所有或者

所以

故有

在都存在；

，

或者

这与条件矛盾；

同理对所有立，即存在 3． 设

【答案】因为

证明：当

时，有

收敛，且有界，

单调递减且

使得

都有

时，亦可得出矛盾，所以假设不成立，故原结论成

上严格单调递增，

时，

处取到最小值，则有

时

，

处取到最大值，则有

易知

由导函数的介值定理，

对所有

上严格单调递增，或

在

必有

上严格单调递减. 内可取到最大值，

设

易知

在

内可取到最小值，设

在

则

定理知，存在

任取一点作

使得

上面的推理仍然正确

.

当

为有限数时，若

则存在

类似可证)

函数存在

内连续，

(

对

则使得

结论自然成立；

不恒等于

注：第(1) 题是推广的罗尔中值定理.

下用反证法证明结论成立，假设结论不真，

令令若对一切当令

充分大时，有

则对任意

则有对所有都有

，则有均有

于是必有

对上述不等式取极限，则得

由题设条件知

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由利用

判别法可判断，引理，由汙

则

收敛，即得：收敛.

令

取极限得

结论得证.

5． 设函数

4． 利用导数定义证明

：

【答案】

在上非负连续，在上连续单调增加，则

【答案】用重积分来证明. 考察差

交换积分变量x 与y 的位置，仍然有

于是有

从而原不等式成立.

6． 设

【答案】由上确界定义，

对

证明：存在

使使

又由

由迫敛性得

成立.

二、解答题

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