2017年郑州大学联合培养单位洛阳师范学院915高等代数考研导师圈点必考题汇编
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一、分析计算题
1． 设A 为2×2矩阵. 证明|:如果.
【答案】由
设
则由
2． 已知
（1）A 的特征多项式（2）A 的伴随矩阵
且
则k=0，故
是6阶方阵A 的极小多项式，且及若当标准形. 的若当标准形.
又A 的特征多项式从而A 的特征多项式
A 有初等因子
A 的若当标准形为
为6次多项式，且
所以
试求
若
=1，若r （A ）则
【答案】（1）设A 的不变因子为
由于A 的极小多项式是A 的最后一个不变因子，所以
（2）由（1）知，存在可逆阵P ，使
又显见所以有
由于
所以
的若当标准形为
3． 证明：一个非零复数I 是某一有理系数非零多项式的根必要而且只要存在一个有理系数多项式
设所以只要令
设I 是某一有理系数非零多项式（1）若则于是只要4（2）若
使得
其中^是有理数
则的根.
就有
其中艮P
且
. 再证必要性.
【答案】先证充分性.
则
由于
由①有
只要令
4． 设A 为n 阶实对称阵，且
称方阵？如是，说明理由；如不是，举出反例.
【答案】A 是正定的. 下证A 的任一特征值
从而
因为
所以
即
即A 的特征值全为1，所以A 为正定阵.
设是A 属于特征值的特征向量. 则
则由②即有
从而也有
（1为n 阶单位阵）. 问：A 是否一定为正定实对
由于实对称阵的特征值均为实数，因而知
5． 计算
【答案】按第一列展开得，得
整理得递推公式
于是
若a=0，则
若
则
于是
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