2017年郑州大学联合培养单位黄淮学院915高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、分析计算题
1． 证明：
多项式
【答案】设
两两互素的充要条件是，
存在多项式
两两互素. 下证（用数学归纳法）（19）成立.
成立，即存在
使
由于
两两互素，故
从而存在多项式
等式（20）与（21）两边相乘，得
令
即得（19）.
反之，设（19）成立，则可得
由此可知
2． 设
和
是n 维欧氏空间V 中两个向量组. 证明存在一正交变换
的充分必要条件为
【答案】
记取
的一组标准正交基
取
的一组标准正交基
得到V
的两组基
这两组基的度量矩阵相等，都等于
使
即
两两互素.
使
使
当n=2时显然. 假定结论对
作V 的线性变换. 对
将表成
如下：
的线性组合：
令
则
是V 的一个线性变换，且
对V 中任一个向量
则
所以 3． 设
【答案】令
由换元公式得
这里r 是
中所有元素的代数余子式之和. 由
解得
4． 证明：
其中
是1的立方根
【答案】
，求行列式
的值.
是一个正交变换，这就是满足条件的正交变换.
由于
将①式两边消去该行列式，即证.
5． 设f ，g 为两个不全为零的多项式. 证明：
【代x 亦有故②设故反之，设
6． 设W 是定义在闭区度为函数
定义实数
乘函1
为
（1）证明：W 是实数域R 上的向量空量；并指出什么函数是零向量；函数；
（2）证明：W 不是有限维向量空间.
【答案】（1） （i ）首先可证W 关于加法封闭和数乘封闭
.
那
么
数.
再验证加法应满足的4条算律：
答
于是存在多项式
则存在
使
使
案
】
则由（1）中第二式可得第一式，从而可知：
上所有实函数的集合，在W 上定义加法为：对
的负向量是什么
和仍为定义在闭区
间上的实函