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一、选择题

1． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8, 再将B 的第1列的一1倍加到第2列得C ，

记

A. B. C. D.

【答案】B

则（ ）.

【解析】由已知，有

于是

2． 设向量组

线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）

【答案】C 【解析】方法1:令

则有

由

线性无关知，

该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于

从而

线性无关，且

线性无关.

因为

3． 设A 是

A. 如果B. 如果秩

所以向量组矩阵，则则

线性无关.

为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解

有非零解

有惟一解 只有零解

有零解.

C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D 【解析】 4． 设

A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B

秩

未知量个数，

则A 与B （ ）.

【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知

B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.

5． 设行列式

所以A 的特征值为3，3，0；而

为f （X ），则方程，f （x ）=0的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】B

【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得

二、分析计算题

6． 设A , B ，C , D 是数域K 上每两个都可换的n 阶方阵且组ABX=0的解空间V 是AX=0与BX=0的解空间

【答案】由于AB=BA，故由的子空间.

再证

任取

则.

但因为

故

且

因此，又若因此，

7． 已知线性方程组

【答案】取

可得方程（2）的一般解

由于（2）的解均为方程组（1）的解，将上式代入方程组（1）得

由t 的任意性得故有

进而解之得：

（2）同解，试求

即

则由（12）知，

的直和.

即

都是V

证明：n 元齐次线性方程

（a 是n 元列向量）可

8． 设A 是n 级幂等阵，且秩为n 试求（1）矩阵A 的相似标准形，并说明理由；（2）计算

【答案】（1）因为

从而A 有无重根的零化多项式

由于

无重根，所以A

相似于对角阵，且特征值只能是1或0. 再由秩A=r, 所以存在可逆阵T ，并有A 的相似标准形为：

其中Er ，为r 级单位阵. （2）由①有