2017年浙江师范大学教师教育学院904数学分析与高等代数[专业硕士]之高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 2． 设 是3维向量空 间的过渡矩阵为（ ） . 的一组基, 则由 基 到 基 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 【答案】（A ） 3． 设 A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A 则A 与B （ ）. 【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值 又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵 其中 故A 〜B. 再由 是正交阵，知T 也是正交阵，从而有 使 且由①式得 因此A 与B 合同. 4． 设均为n 维列向量，A 是 A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有 线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则 矩阵，下列选项正确的是（ ）. 线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关. 则 线性无关， 线性无关时，若秩 线性相关. 由此可否定C ，D. 又由 由上述知因此 5． 设 线性相关，所以线性相关，故选A. 于是 是非齐次线性方程组的两个不同解，是的基础解系，为任意常数， 则Ax=b的通解为（ ）• 【答案】B 【解析】因为中 不一定线性无关. 而 由于故 是 因此 线性无关，且都是 知 的解. 是 的特解，因此选B. 所以 因此 不是 的特解，从而否定A , C.但D 的基础解系. 又由 二、分析计算题 6． 设 是一对称矩阵，且 存在 使 其中*表示 一个级数与A22相同的矩阵. 【答案】令 则可证T 满足题中要求，首先有 其中因为证毕. 7． 若 是正定阵，诹 也是正定阵，且 级数与 相同. 是一个对称矩阵，故 【答案】A 是正定矩阵的顺序主子阵，因而正定，从而I1正定. 又即所以 合同汙 正定. （2） 由所以 从@ 正定. 对式（1）两边取行列式得 正定，所以半正定.
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