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一、证明题

1． 设

【答案】因为

于是，

或

2． 证明下列结论：

(1) 若(2) 设在

而数列

在与

上严格递增，且对在

则

上有定义，

单调，对任意正整数

(正常数) ，

即数列

也不以

为极限，矛盾，于是

再证：当

由

3． 试证明

【答案】数集

因为对于任意一个正数M , 令

4． 证明：若级数m ，

【答案】假设发散.

也发散

收敛. 因

_

. 时有

(反证法) 若结论不成立，即存在

于是

矛盾. 从而当

有上界而无下界. 对任意的

而

M

；

也发散.

收敛，这与题设

. 发散矛盾，

所以若

故3是数集S 的一个上界.S 无下界， 时有

即

使得

即

单调递増，则有

知

时有

(2) 不妨设

单调递增. 对

的子列

有

则. 使得

不以

则

已知

从而

有为极限，从 即

证明

：

所以

(

当

或

对) ，即

【答案】(1) 假招

上严格递增，所以

有

. 故级数

二、解答题

5． 设曲面S 由方程

【答案】在球坐标变换

：

其参数方程为

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所确定，求曲面S 的面积.

之下，曲面S 的方程

是

通过计算易知，

由此得

由曲面的对称性，只需求第一卦限部分的面积即可.

而此时

所以

故S 的面积为

6． 指出下列函数的间断点并说明其类型：

并且由曲面方程知

【答案】（1）f （x

）仅有一个间断点类间断点.

（2）f （x ）仅有一个间断点x=0。因为

所以x=0是f （x ）的第一类间断点且为跳跃间断点. （3）

是

该函数的可去间断点. （4）

（5）因为

故

而

于是

为该函数的可去间断点.

其中

因为

而

所以

因为

所以

为第二

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其中又因为

所以. （6）当所

以

（7）

为函数的第一类的跳跃间断点.

时，存在有理数列

而都不存在. 所以当

时故

和无理数列

使得

由

于

根据函数极限的归结原

则的第二类间断点

.

是函数的第二类间断点. 为函数

于是

7． 设

【答案】二元函数

上可微，且

故是函数f （x ）的第一类的跳跃间断点.

在矩形区域

上连续，

均为可微函数. 则函数

在

8． 求螺旋线

【答案】则

9． 求下列函数的稳定点：

【答案】（1

）

故

的稳定点是

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对轴的转动惯量，设曲线密度为

由

得解

得